Polinomis de Zernike

En matemàtiques, els polinomis de Zernike són una seqüència de polinomis que són ortogonals en el disc unitat. Varen ser nomenats en honor del físic òptic Frits Zernike, guanyador del Premi Nobel de física en 1953 i inventor del microscopi de contrast de fases. Estos polinomis juguen un paper important en la modelisació del comportament de fas de llum en un sistema òptic.

Els primers 21 polinomis de Zernike, ordenats verticalment per grau radial i horisontalment per grau assimutal

Definicions

Els polinomis de Zernike es distinguixen en funció de la seua paritat. Els térmens pares es definixen com:

$Z_n^m(\rho ,\phi )=R_n^m(\rho )\cos (m\phi )$

i els impar com:

$Z_n^{-m}(\rho ,\phi )=R_n^m(\rho )\sin (m\phi ),$

a on m i n són número entero no negatius en n ≥ m, φ és l'àngul azimutal, ρ és la distància radial $0\le \rho \le 1$ i R^m_n són els polinomis radials definits a continuació. Els polinomis de Zernike tenen la propietat d'estar llimitats a un ranc de -1 a +1, és dir, $|Z_n^m(\rho ,\phi )|\le 1$. Els polinomis radials R^m_n es definixen com

$R_n^m(\rho )=\sum _{k=0}^{\frac{n-m}{2}}\frac{(-1{)}^k(n-k)!}{k!(\frac{n+m}{2}-k)!(\frac{n-m}{2}-k)!}{\rho }^{n-2k}$

per a n-m parell, i són idénticamente 0 per a n-m impar.

Atres representacions

Reescrivint les relacions de factorials en la part radial com a productes de coeficients binomiales, es demostra que els coeficients són número entero:

$R_n^m(\rho )=\sum _{k=0}^{\frac{n-m}{2}}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2k}{\frac{n-m}{2}-k}){\rho }^{n-2k}$.

La notació com a térmens de funcions hipergeométricas gaussianas és útil per a revelar recurrencias, per a demostrar casos especials dels polinomis de Jacobi, o per a reduir equacions diferencials.

$\begin{array}{cc}{R}_n^m(\rho )& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n+m}{2}}){\rho }^n{}_2{F}_1(-\frac{n+m}{2},-\frac{n-m}{2};-n;{\rho }^{-2})\\ & =(-1{)}^{\frac{n-m}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{n+m}{2}}{m}){\rho }^m{}_2{F}_1(1+\frac{n+m}{2},-\frac{n-m}{2};1+m;{\rho }^2)\end{array}$

per a n-m parell.

El factor ${\rho }^{n-2k}$ en el polinomi radial $R_n^m(\rho )$ es pot expandir en una base de Bernstein de $b_{s,n/2}({\rho }^2)$ per a $n$ parell o $\rho$ multiplicat per una funció de $b_{s,(n-1)/2}({\rho }^2)$ per a $n$ impar en el ranc $\lfloor n/2\rfloor -k\le s\le \lfloor n/2\rfloor$. Per lo tant, el polinomi radial pot expressar-se per mig d'un número finit de polinomis de Bernstein en coeficients racionals:

$R_n^m(\rho )=\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor })}{\rho }^{nmod2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^{\lfloor n/2\rfloor -s}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{\lfloor m/2\rfloor })(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil })b_{s,\lfloor n/2\rfloor }({\rho }^2).$

Índexs seqüencials de Noll

Les aplicacions a sovint impliquen l'us del àlgebra llineal, a on les integrals sobre productes de polinomis de Zernike i algun atre factor es poden organisar com els elements d'una matriu. Una relació per a enumerar les files i les columnes d'estes matrius per mig d'un sol índex va ser introduïda per Noll. La transformació convencional dels dos índexs n i m en un sol índex j per mig de l'associació $Z_n^m\to Z_j$ comença de la següent manera A176988

n,m	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,−2	2,2	3,−1	3,1	3,−3	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n,m	4,0	4,2	4,−2	4,4	4,−4	5,1	5,−1	5,3	5,−3	5,5
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

La regla és que per a Z parell (en la part assimutal parell m, $\cos (m\phi )$) s'obtenen els índexs j pares, i per a Z impar s'obtenen els índexs j impars. Dins d'un n donat, els valors més baixos de |m| produïxen els menors valors de j.

Índexs estàndar OSA / ANSI

Els polinomis de Zernike d'un sol índex utilisen els coeficients de la Societat Òptica Nortamericana

i del ANSI:

$j=\frac{n(n+2)+m}{2}$

n,m	0,0	1,-1	1,1	2,-2	2,0	2,2	3,-3	3,-1	3,1	3,3
j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n,m	4,-4	4,-2	4,0	4,2	4,4	5,-5	5,-3	5,-1	5,1	5,3
j	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

Índexs de Fringe / Zemax

Zemax usa l'esquema d'indexación de Fringe. Els 20 primers números de Fringe s'enumeren a continuació.

n,m	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,2	2,-2	3,1	3,-1	4,0	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n,m	3,-3	4,2	4,−2	5,1	5,−1	6,0	4,4	4,-4	5,3	5,-3
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Propietats

Ortogonalidad

La ortogonalidad en la part radial s'expressa com

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\rho \sqrt{2n+2}{R}_n^m(\rho )\sqrt{2n^{\prime }+2}{R}_{n^{\prime }}^m(\rho )d\rho ={\delta }_{n,n^{\prime }}.$

La ortogonalidad en la part angular està representada per les integrals elementals

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos (m\phi )\cos (m^{\prime }\phi )d\phi ={ϵ}_m\pi {\delta }_{|m|,|m^{\prime }|},$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sin (m\phi )\sin (m^{\prime }\phi )d\phi =(-1{)}^{m+m^{\prime }}\pi {\delta }_{|m|,|m^{\prime }|};m\ne 0,$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos (m\phi )\sin (m^{\prime }\phi )d\phi =0,$

a on ${ϵ}_m$ (a voltes cridat factor de Neumann perque apareix en freqüència junt en les funcions de Bessel) es definix com 2 si $m=0$ i com 1 si $m\ne 0$. El producte de les parts angulars i radials establix la ortogonalidad de les funcions de Zernike sobre abdós índexs si s'integra en el disc unitat,

$\int Z_n^m(\rho ,\phi )Z_{n^{\prime }}^{m^{\prime }}(\rho ,\phi )d^{2}r=\frac{{ϵ}_m\pi }{2n+2}{\delta }_{n,n^{\prime }}{\delta }_{m,m^{\prime }},$

a on $d^{2}r=\rho d\rho d\phi$ és el jacobiano del sistema de coordenades circulares, i a on $n-m$ i $n^{\prime }-m^{\prime }$ són parells.

Un valor especial és

$R_n^m(1)=1,$

Transformada de Zernike

Qualsevol camp de fase de valor real suficientment uniforme sobre el disc de l'unitat $G(\rho ,\phi )$ pot representar-se en térmens dels seus coeficients de Zernike (impar i parell), de la mateixa manera que les funcions periòdiques troben una representació ortogonal en la série de Fourier. Sent

$G(\rho ,\phi )=\sum _{m,n}[a_{m,n}{Z}_n^m(\rho ,\phi )+b_{m,n}{Z}_n^{-m}(\rho ,\phi )],$

els coeficients es poden calcular usant productes interns. En l'espai de les funcions de $L^2$ en el disc de l'unitat, existix un producte intern definit per

$⟨F,G⟩:=\int F(\rho ,\phi )G(\rho ,\phi )\rho d\rho d\phi .$

Els coeficients de Zernike es poden expressar de la següent manera:

$\begin{array}{cc}{a}_{m,n}& =\frac{2n+2}{{ϵ}_m\pi }⟨G(\rho ,\phi ),Z_n^m(\rho ,\phi )⟩,\\ b_{m,n}& =\frac{2n+2}{{ϵ}_m\pi }⟨G(\rho ,\phi ),Z_n^{-m}(\rho ,\phi )⟩.\end{array}$

Alternativament, es poden usar els valors coneguts de la funció de fase G en la retícula circular per a formar un sistema d'equacions. La funció de fase es recupera per mig del producte ponderat de coeficient desconegut en (valors coneguts) del polinomi de Zernike en la retícula del disc unitat. Per lo tant, els coeficients també es poden trobar resolent un sistema llineal, per eixemple, per mig de l'inversió d'una matriu. Els algoritmes ràpits per a calcular la transformació de Zernike directa i inversa utilisen les propietats de simetria de les funciones trigonomètriques, la separabilidad de les parts radials i azimutals dels polinomis de Zernike i les seues simetria rotacionales.

Simetria

La paritat sobre la reflexió en l'eix x és

$Z_n^m(\rho ,\phi )=(-1{)}^m{Z}_n^m(\rho ,-\phi ).$

La paritat sobre el punt de reflexió en el centre de coordenades és

$Z_n^m(\rho ,\phi )=(-1{)}^m{Z}_n^m(\rho ,\phi +\pi ),$

a on $(-1{)}^m$ també podria escriure's $(-1{)}^n$ perque $n-m$ és parell per als valors rellevants que no tendixen a zero. Els polinomis radials també són parells o impars, segons l'orde n o m:

$R_n^m(\rho )=(-1{)}^n{R}_n^m(-\rho )=(-1{)}^m{R}_n^m(-\rho ).$

La periodicitat de les funcions trigonomètriques implica invarianza si es trencada per múltiples de $2\pi /m$ radianes al voltant del centre:

$Z_n^m(\rho ,\phi +\frac{2\pi k}{m})=Z_n^m(\rho ,\phi ),k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .$

Relacions de recurrencia

Els polinomis de Zernike satisfan la següent relació de recurrencia que no depén ni del grau ni de l'orde azimutal dels polinomis radials:

$\begin{array}{c}{R}_n^m(\rho )+R_{n-2}^m(\rho )=\rho [R_{n-1}^{|m-1|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )]\text{ .}\end{array}$

De la definició de $R_n^m$ es pot vore que $R_m^m(\rho )={\rho }^m$ i $R_{m+2}^m(\rho )=((m+2){\rho }^2-(m+1)){\rho }^m$. La següent relació de recurrencia de tres térmens permet calcular tots els demés $R_n^m(\rho )$:

$R_n^m(\rho )=\frac{2(n-1)(2n(n-2){\rho }^2-m^2-n(n-2))R_{n-2}^m(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^m(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}\text{ .}$

La relació anterior és especialment útil, ya que la derivada de $R_n^m$ es pot calcular a partir de dos polinomis de Zernike radials de grau adjacent:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho }{R}_n^m(\rho )=\frac{(2nm({\rho }^2-1)+(n-m)(m+n(2{\rho }^2-1)))R_n^m(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^m(\rho )}{2n\rho ({\rho }^2-1)}\text{ .}$

Vore també

• Polinomis de Jacobi
• Teoria de Nijboer-Zernike
• Polinomis pseudo-Zernike

Bibliografia

• Zernike Polynomial en MathWorld.
• del Proyecte de Demostracions Wolfram.