Polinomis de Jacobi

Per a els polinomis de Jacobi de múltiples variables vore polinomis de Heckman-Opdam.

En matemàtiques, els polinomis de Jacobi (ocasionalment cridats polinomis hipergeométricos) $P Plantilla:La seua (x)$ són una classe de polinomis ortogonals clàssics. Són ortogonals sobre el pes $(1 - x) α (1 + x) β$ en l'interval $[-1, 1]$ . Els polinomis de Gegenbauer, i per lo tant també els de Legendre, de Zernike i de Chebyshev, són casos especials dels polinomis de Jacobi.^[1]

Els polinomis de Jacobi varen ser introduïts pel matemàtic alemà Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851).

Definicions

A través de la funció hipergeométrica

Els polinomis de Jacobi es definixen a través de la funció hipergeométrica de la següent manera:^[2]

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{(α + 1)_{n}}{n!}_{2} F_{1} (- n, 1 + α + β + n; α + 1; \frac{1}{2} (1 - z)),

a on $(α + 1)_{n}$ és un símbol de Pochhammer (per al factorial ascendent). En este cas, la série per a la funció hipergeométrica és finita, per lo tant, s'obté la següent expressió equivalent:

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + n + 1)}{n! Γ (α + β + n + 1)} \sum_{m = 0}^{n} (\binom{n}{m}) \frac{Γ (α + β + n + m + 1)}{Γ (α + m + 1)} {(\frac{z - 1}{2})}^{m} .

La fòrmula de Rodrigues

La fòrmula de Rodrigues dona una definició equivalent:^[1]^[3]

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} (1 - z)^{- α} (1 + z)^{- β} \frac{d^{n}}{d z^{n}} {(1 - z)^{α} (1 + z)^{β} {(1 - z^{2})}^{n}} .

Si $α = β = 0$ , llavors es reduïx als polinomis de Legendre:

P_{n} (z) = \frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d z^{n}} (z^{2} - 1)^{n} .

Expressió alternativa per a l'argument real

Per a x real, el polinomi de Jacobi pot escriure's alternativament com

P_{n}^{(α, β)} (x) = \sum_{s = 0}^{n} (\binom{n + α}{n - s}) (\binom{n + β}{s}) {(\frac{x - 1}{2})}^{s} {(\frac{x + 1}{2})}^{n - s} .

i per a un número entero n

(\binom{z}{n}) = {\begin{matrix} \frac{Γ (z + 1)}{Γ (n + 1) Γ (z - n + 1)} & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \end{matrix}

a on $Γ(z)$ és la Funció gamma.

En el cas especial de que les quatre cantitats $n, n + α, n + β$ i $n + α + β$ són sancers no negatius, el polinomi de Jacobi es pot escriure com

Plantilla:NumBlk

La suma s'estén sobre tots els valors sancers de s per als quals els arguments dels factorials no són negatius.

Propietats bàsiques

Ortogonalidad

Els polinomis de Jacobi satisfan la condició de ortogonalidad

\int_{- 1}^{1} (1 - x)^{α} (1 + x)^{β} P_{m}^{(α, β)} (x) P_{n}^{(α, β)} (x) d x = \frac{2^{α + β + 1}}{2 n + α + β + 1} \frac{Γ (n + α + 1) Γ (n + β + 1)}{Γ (n + α + β + 1) n!} δ_{n m}, α, β > - 1.

Com es definix, no tenen una norma unitària sobre el pes. Açò es pot corregir dividint per la raïl quadrada del costat dret de l'equació anterior, quan $n = m$ .

Encara que no proporciona una base ortonormal, a voltes es preferix una normalisació alternativa per la seua simplicitat:

P_{n}^{(α, β)} (1) = (\binom{n + α}{n}) .

Relació de simetria

Els polinomis tenen la relació de simetria

P_{n}^{(α, β)} (- z) = (- 1)^{n} P_{n}^{(β, α)} (z);

per lo tant, l'atre valor terminal és

P_{n}^{(α, β)} (- 1) = (- 1)^{n} (\binom{n + β}{n}) .

Derivades

La k-ésima derivada de l'expressió explícita conduïx a

\frac{d^{k}}{d z^{k}} P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + β + n + 1 + k)}{2^{k} Γ (α + β + n + 1)} P_{n - k}^{(α + k, β + k)} (z) .

Equació diferencial

El polinomi de Jacobi $P Plantilla:La seua$ és una solució d'una equació diferencial llineal de segon orde^[1]

(1 - x^{2}) y^{″} + (β - α - (α + β + 2) x) y^{'} + n (n + α + β + 1) y = 0.

Relacions de recurrencia

La relació de recurrencia per als polinomis de Jacobi de α, β fixa és:^[1]

\begin{matrix} 2 n (n + α + β) (2 n + α + β - 2) P_{n}^{(α, β)} (z) \\ = (2 n + α + β - 1) {(2 n + α + β) (2 n + α + β - 2) z + α^{2} - β^{2}} P_{n - 1}^{(α, β)} (z) - 2 (n + α - 1) (n + β - 1) (2 n + α + β) P_{n - 2}^{(α, β)} (z), \end{matrix}

per a n = 2, 3, ....

Ya que els polinomis de Jacobi es poden descriure en térmens de la funció hipergeométrica, les recurrencias de la funció hipergeométrica donen recidivas equivalents dels polinomis de Jacobi. En particular, les relacions contigües de Gauss corresponen a les identitats

\begin{matrix} (z - 1) \frac{d}{d z} P_{n}^{(α, β)} (z) & = \frac{1}{2} (z - 1) (1 + α + β + n) P_{n - 1}^{(α + 1, β + 1)} \\ = n P_{n}^{(α, β)} - (α + n) P_{n - 1}^{(α, β + 1)} \\ = (1 + α + β + n) (P_{n}^{(α, β + 1)} - P_{n}^{(α, β)}) \\ = (α + n) P_{n}^{(α - 1, β + 1)} - α P_{n}^{(α, β)} \\ = \frac{2 (n + 1) P_{n + 1}^{(α, β - 1)} - (z (1 + α + β + n) + α + 1 + n - β) P_{n}^{(α, β)}}{1 + z} \\ = \frac{(2 β + n + n z) P_{n}^{(α, β)} - 2 (β + n) P_{n}^{(α, β - 1)}}{1 + z} \\ = \frac{1 - z}{1 + z} (β P_{n}^{(α, β)} - (β + n) P_{n}^{(α + 1, β - 1)}) . \end{matrix}

Funció de generació

La funció generadora dels polinomis de Jacobi està donada per

\sum_{n = 0}^{\infty} P_{n}^{(α, β)} (z) t^{n} = 2^{α + β} R^{- 1} (1 - t + R)^{- α} (1 + t + R)^{- β},

d'a on

R = R (z, t) = {(1 - 2 z t + t^{2})}^{\frac{1}{2}},

i la branca de la raïl quadrada s'elegix per a que R (z, 0) = 1.^[1]

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Szegő, Gábor (1939). «IV. Jacobi polynomials.», Orthogonal Polynomials (vol. XXIII), American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1023-1. La definició figura en IV.1; l'equació diferencial en IV.2; la fòrmula de Rodrigues formula apareix en IV.3; la funció generadora IV.4; i la relació recurrent està en IV.5.
↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Séries. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 561. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
↑ P.K. Suetin (2001) [1994], "Jacobi_polynomials", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Mija B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Polinomios de Jacobi» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[sz-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Szegő, Gábor (1939). «IV. Jacobi polynomials.», Orthogonal Polynomials (vol. XXIII), American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1023-1. La definició figura en IV.1; l'equació diferencial en IV.2; la fòrmula de Rodrigues formula apareix en IV.3; la funció generadora IV.4; i la relació recurrent està en IV.5.

[2] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Séries. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 561. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.

[3] P.K. Suetin (2001) [1994], "Jacobi_polynomials", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Mija B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[1]

[2]

[3]