Polinomis de Gegenbauer

Archiu:Gegenbauer polynomials.gif

Animació que mostra els polinomis en el pla xα per als primers 4 valors de n

En matemàtiques, els polinomis de Gegenbauer o polinomis ultraesféricos CPlantilla:La seua(x) són polinomis ortogonals en l'interval [−1,1] sobre la funció de ponderació (1 − x²)^α–1/2. Generalisen els polinomis de Legendre i els polinomis de Chebyshov; i són casos especials dels polinomis de Jacobi. Duen el nom de Leopold Gegenbauer.

Caracterisació

Archiu:Plot of the Gegenbauer polynomial C n^(m)(x) with n=10 and m=1 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg

Gràfic del polinomi C n^(m)(x) de Gegenbauer en n=10 i m=1 en el pla complex de -2-2i a 2+2i en colors creats en la funció de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Hi ha disponibles vàries caracterisació dels polinomis de Gegenbauer:

• Els polinomis es poden definir en térmens del seu funció generatriz Plantilla:Harv:

$\frac{1}{(1-2xt+t^2{)}^{\alpha }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^{(\alpha )}(x)t^n(0\le |x|<1,|t|\le 1,\alpha >0)$

• Els polinomis satisfan la relació de recurrencia Plantilla:Harv:

$\begin{array}{cc}{C}_0^{(\alpha )}(x)& =1\\ C_1^{(\alpha )}(x)& =2\alpha x\\ (n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)& =2(n+\alpha )x{C}_n^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{array}$

• Els polinomis de Gegenbauer són solucions particulars de l'equació diferencial de Gegenbauer Plantilla:Harv:

$(1-x^2)y^{″}-(2\alpha +1)x{y}^{\prime }+n(n+2\alpha )y=0.$

Quan α = 1/2, l'equació es reduïx a l'equació de Legendre, i els polinomis de Gegenbauer es reduïxen als polinomis de Legendre.

Quan α = 1, l'equació es reduïx a l'equació diferencial de Chebyshov, i els polinomis de Gegenbauer es reduïxen als polinomis de Chebyshov de segona classe.

• Es donen com una funció hipergeométrica en certs casos a on la série és de fet finita:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(2\alpha {)}_n}{n!}{}_2{F}_1(-n,2\alpha +n;\alpha +\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}).$

(Abramowitz & Stegun p. 561). Ací (2α)_n és el factorial ascendent. Explícitament,

$C_n^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k\frac{\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}(2z{)}^{n-2k}.$

• Són casos especials dels polinomis de Jacobi Plantilla:Harv:

$C_n^{(\alpha )}(x)=\frac{(2\alpha {)}_n}{(\alpha +\frac{1}{2}{)}_n}{P}_n^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).$

en el que $(\theta {)}_n$ representa el factorial ascendent de $\theta$.

Per lo tant també s'obté la fòrmula de Rodrigues

$C_n^{(\alpha )}(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^{n}n!}\frac{\Gamma (\alpha +\frac{1}{2})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+\frac{1}{2})}(1-x^2{)}^{-\alpha +1/2}\frac{d^n}{d{x}^n}[(1-x^2{)}^{n+\alpha -1/2}].$

Gràfics

• Polinomis de Gegenbauer en α=1
  Polinomis de Gegenbauer en α=1
• Polinomis de Gegenbauer en α=2
  Polinomis de Gegenbauer en α=2
• Polinomis de Gegenbauer en α=3
  Polinomis de Gegenbauer en α=3

Vore també

• Polinomis de Rogers, l'anàlec q dels polinomis de Gegenbauer
• Polinomis de Chebyshov
• Polinomis de Romanovski

Bibliografia

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Séries. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.*Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• (1971).«Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces».Princeton University Press.Princeton, N.J.:.
• Plantilla:Springer.