Taula de séries newtonianas

En matemàtiques, una série newtoniana, nomenada aixina en referència a Isaac Newton, és una successió matemàtica $a_{n}$ escrita en la forma

f (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (\binom{s}{n}) a_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- s)_{n}}{n!} a_{n}

a on

(\binom{s}{n})

és el coeficient binomial i $(s)_{n}$ és el factorial ascendent. Les séries newtonianas a sovint apareixen en relacions de la forma que es veu en el càlcul llindar.

Llista

El teorema del binomi generalisat afirma que

(1 + z)^{s} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{s}{n}) z^{n} = 1 + (\binom{s}{1}) z + (\binom{s}{2}) z^{2} + \dots .

Una prova d'esta identitat es pot obtindre mostrant que satisfà l'equació diferencial

(1 + z) \frac{d (1 + z)^{s}}{d z} = s (1 + z)^{s} .

La funció digamma és:

ψ (s + 1) = - γ - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} (\binom{s}{n}) .

i els números de Stirling de segona espècie vénen daus per la suma finita

{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}} = \frac{1}{k!} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{k - j} (\binom{k}{j}) j^{n} .

Esta fòrmula és un cas especial de la k-ésima diferència finita del monomi xⁿ evaluat en x = 0:

Δ^{k} x^{n} = \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{k - j} (\binom{k}{j}) (x + j)^{n} .

Una identitat relacionada constituïx la base de l'integral de Nörlund–Rice:

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{(- 1)^{k}}{s - k} = \frac{n!}{s (s - 1) (s - 2) \dots (s - n)} = \frac{Γ (n + 1) Γ (s - n)}{Γ (s + 1)} = B (n + 1, s - n)

a on $Γ (x)$ és la funció gamma i $B (x, y)$ és la funció beta.

Les funcions trigonométricas tenen identitats llindars:

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (\binom{s}{2 n}) = 2^{s / 2} \cos \frac{π s}{4}

i

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (\binom{s}{2 n + 1}) = 2^{s / 2} \sin \frac{π s}{4}

La naturalea llindar d'estes identitats és una miqueta més clara en escriure-les en térmens del factorial descendent $(s)_{n}$ . Els primers térmens de la série del sen són

s - \frac{(s)_{3}}{3!} + \frac{(s)_{5}}{5!} - \frac{(s)_{7}}{7!} + \dots

que es pot reconéixer com a similar a la série de Taylor per a la funció $\sin x$ , en (s) _n en lloc de xⁿ.

En teoria analítica de números és d'interés la suma

\sum_{k = 0} B_{k} z^{k},

a on B és el número de Bernoulli. Amprant la funció generadora, la seua suma de Borel es pot evaluar com

\sum_{k = 0} B_{k} z^{k} = \int_{0}^{\infty} e^{- t} \frac{t z}{e^{t z} - 1} d t = \sum_{k = 1} \frac{z}{(k z + 1)^{2}} .

La relació general dona la série de Newton

\sum_{k = 0} \frac{B_{k} (x)}{z^{k}} \frac{(\binom{1 - s}{k})}{s - 1} = z^{s - 1} ζ (s, x + z),

^{cita requerida}

a on $ζ$ és la funció zeta de Hurwitz i $B_{k} (x)$ són polinomis de Bernoulli. La série no convergix, pero l'identitat es manté formalment.

Una atra identitat és

\frac{1}{Γ (x)} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{x - a}{k}) \sum_{j = 0}^{k} \frac{(- 1)^{k - j}}{Γ (a + j)} (\binom{k}{j}),

que convergix per a $x > a$ . Açò es deduïx de la forma general d'una série de Newton per a nodos equidistants (quan existix, és dir, és convergent)

f (x) = \sum_{k = 0} (\binom{\frac{x - a}{h}}{k}) \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{k - j} (\binom{k}{j}) f (a + j h) .

Vore també

Referències

Philippe Flajolet i Robert Sedgewick, "^{[enllaç trencat]} " Theoretical Computer Science '' 144 (1995) pp 101-124.

Este artícul conté una traducció derivada de «Tabla de series newtonianas» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.