Teorema de Carlson

En matemàtiques, dins de l'àmbit del anàlisis complex, la teorema de Carlson és un teorema d'unicitat descobert per Fritz David Carlson. De manera informal, establix que dos funcions analítiques diferents que no creixen molt ràpit en l'infinit no poden coincidir en els número entero. La teorema pot obtindre's a partir del teorema de Phragmén-Lindelöf, que a la seua volta és una extensió del Principi del mòdul màxim.

La teorema de Carlson se sol invocar per a defendre l'unicitat d'una expansió en série de Newton. La teorema de Carlson té anàlecs generalisats per a atres expansions.

Enunciat

Supongam que f satisfà les tres condicions següents. Les dos primeres condicions llimiten el creiximent de f en l'infinit, mentres que la tercera establix que f s'anula en els sancers no negatius.

1. f(z) és una funció sancera de tipo exponencial, lo que significa que $$|f(z)|\le C{e}^{\tau |z|},z\in ℂ$$ per a alguns valors reals C, τ.
2. Existix c < π tal que $$|f(iy)|\le C{e}^{c|y|},y\in ℝ$$
3. f(n) = 0 para tot sancer no negatiu n.

Llavors f és identicamente zero.

Precisió

Primera condició

La primera condició pot relaixar-se: n'hi ha prou en supondre que f és analítica en Re z > 0, contínua en Re z ≥ 0, i que satisfaça $$|f(z)|\le C{e}^{\tau |z|},\mathrm{Re}z>0$$per a alguns valors reals C, τ.

Segona condició

Per a vore que la segona condició és estricta, considerem la funció f(z) = sense(πz). Esta funció s'anula en els número entero; no obstant, creix exponencialment en l'eix imaginari en una taxa de creiximent de c = π, i de fet no és identicamente zero.

Tercera condició

Un resultat de Rubel (1956) relaixa la condició de que f s'anule en els número entero. Concretament, Rubel va demostrar que la conclusió de la teorema seguix sent vàlida si f s'anula en un subconjunt A ⊂ Plantilla:Mset de densitat superior 1, lo que significa que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}$ $\frac{|A\cap \{0,1,\dots ,n-1\}|}{n}=1.$

Esta condició és estricta, lo que significa que la teorema no es complix per a conjunts A de densitat superior menor que 1.

Vore també

• Série de Newton
• Teorema de Mahler
• Taula de séries newtonianas

Referències

• F. Carlson, “'Sur unix classe de séries de Taylor”', (1914) Tesis doctoral, Uppsala, Suècia, 1914.
• “Sur li principe de Phragmén–Lindelöf” (1920). Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 20: 205–107., cor 21 (1921) p. 6.
• “

Per favor, specifica le parametro title. {{{title}}}” .

• E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2.ª ed.) (1939) Oxford University Press “”(Vore la secció 5.81)“”
• R. P. Boes, Jr., Entire functions, (1954) Academic Press, Nova York.
• “Existence of interpolating functions of exponential type” (1962). Trans. Amer. Math. Soc..
• “Diferències centrals que tenden a zero” (1963). Proc. Amer. Math. Soc..
• (1956).«Condicions necessàries i suficients per a la teorema de Carlson sobre funcions sanceres».Trans. Amer. Math. Soc..83(2)

417– 429.doi:10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8.