Principi del mòdul màxim

En roig, representació del mòdul de $\cos (z)$ per a valors de $z$ en el disc unitat (en blava). Observe's com el màxim del mòdul no s'alcança en l'interior del disc.

En matemàtiques, i en particular en l'anàlisis complex, el principi del mòdul màxim afirma que el mòdul d'una funció holomorfa alcança el seu màxim en la frontera del domini.

Este resultat és prou sorprenent en mostrar cuán especials són les funcions holomorfas, puix és sabut que en $ℝ$ eixe resultat no és cert (basta prendre qualsevol funció diferenciable acotada, com $\sin (x)$).

Enunciat formal

Siga $A\subset ℂ$, un conjunt conexo i obert (si no és conexo, lo que seguix és vàlit per a cada component conexa) i $f:A⟶ℂ$ una funció holomorfa no constant. Llavors $|f|$ no alcança el seu màxim sobre $A$, és dir:

$\mathrm{\forall }z\in A,\mathrm{\exists }w\in A$, t.q. $|f(w)|>|f(z)|$.

Si es tinguera l'igualtat, la funció seria constant.

Conseqüències

Un corolari immediat és que si $A$ és ademés acotat, i $f$ pot ser estesa en forma contínua a $\overline{A}$ (que és un conjunt compacte, per lo que $|f|$ alcançarà un màxim sobre $\overline{A}$), llavors: $ma{x}_{z\in \overline{A}}|f(z)|=ma{x}_{z\in \partial \overline{A}}|f(z)|$. Més encara, es complirà que $\mathrm{\forall }z\in A,|f(z)|<ma{x}_{z\in \partial \overline{A}}|f(z)|$.

Un atre corolari, no tan immediat, és el principi del mòdul mínim, que diu lo següent: si $\mathrm{\forall }z\in A,|f(z)|>0$ (i.i., $f$ no s'anula), llavors $f$ tampoc alcança el seu mínim, i.i., $\mathrm{\forall }z\in A,\mathrm{\exists }w\in At.q.|f(w)|<|f(z)|$. Este resultat es basa en aplicar el principi del mòdul màxim a la funció $g(z)=1/f(z)$, que és analítica puix $f$ no s'anula. Òbviament, si $A$ és acotat, es poden concloure resultats anàlecs als del principi del mòdul màxim.