Tipo exponencial

Archiu:ExtremeGaussian.png

La gràfica de la funció en grisa és $e^{-\pi z^2}$, la gaussiana restringida a l'eix real. La gaussiana no és de tipo exponencial, pero les funcions en roig i blau són aproximacions unilaterals que sí són de tipo exponencial $2\pi$.

En anàlisis complex, una branca de les matemàtiques, es diu que una funció holomórfica és de tipo exponencial C si la seua creiximent està acotat per la funció exponencial $e^{C|z|}$ per a alguna constant de valor real $C$ quan $|z|\to \mathrm{\infty }$. Quan una funció està acotada d'esta manera, és possible expressar-la com certs tipos de sumes convergents sobre una série d'atres funcions complexes, aixina com comprendre quàn és possible aplicar tècniques com la sumación de Borel, o, per eixemple, aplicar la transformada de Mellin, o realisar aproximacions utilisant la fòrmula de Euler-Maclaurin. El cas general es tracta per mig del teorema de Nachbin, que definix la noció anàloga de «tipo $\Psi$» per a una funció general $\Psi (z)$ en contraposició a $e^z$.

Idea bàsica

Es diu que una funció $f(z)$ definida en el pla complex és de tipo exponencial si existixen constants de valor real $M$ i $\tau$ tals que

$\left|f\left(r{e}^{i\theta }\right)\right|\le M{e}^{\tau r}$

en el llímit de $r\to \mathrm{\infty }$. Ací, la variable complexa $z$ s'ha escrit com $z=r{e}^{i\theta }$ per a emfatisar que el llímit deu complir-se en totes les direccions $\theta$. Si es pren $\tau$ com l'ínfim de tots els $\tau$ d'este tipo, es diu llavors que la funció $f$ és de «tipo exponencial $\tau$».

Per eixemple, siga $f(z)=\sin (\pi z)$. Llavors es diu que $\sin (\pi z)$ és de tipo exponencial $\pi$, ya que $\pi$ és el número més chicotet que llimita el creiximent de $\sin (\pi z)$ a lo llarc de l'eix imaginari. Per lo tant, en este eixemple, el teorema de Carlson no es pot aplicar, ya que requerix funcions de tipo exponencial menors que $\pi$. De la mateixa manera, tampoc es pot aplicar la fòrmula de Euler-Maclaurin, ya que esta també expressa una teorema que, en última instància, es basa en la teoria de les diferències finitas.

Definició formal

Es diu que una funció holomórfica $F(z)$ és de «tipo exponencial» $\sigma >0$ si, per a tot $\epsilon >0$, existix una constant real $A_{\epsilon }$ tal que

$|F(z)|\le A_{\epsilon }{e}^{(\sigma +\epsilon )|z|}$

per a $|z|\to \mathrm{\infty }$ a on $z\in ℂ$. Diem que $F(z)$ és de tipo exponencial si $F(z)$ és de tipo exponencial $\sigma$ per a algun $\sigma >0$. El número

$\tau (F)=\sigma =\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|z{|}^{-1}\log |F(z)|$

Archiu:Example exponential type 1 function.png

Comportament de $F(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}.$ La raó entre $\log |F(z)|$ i $|z|$ en un radi donat alcança el seu màxim en l'eix real.

és el tipo exponencial de $F(z)$. El llímit superior ací significa el llímit del suprem de la raó fòra d'un radi donat a mida que el radi tendix a infinit. Est és també el llímit superior del màxim de la raó en un radi donat quan el radi tendix a infinit. El llímit superior pot existir inclús si el màxim en el radi $r$ no té llímit quan $r$ tendix a infinit. Per eixemple, per a la funció

$F(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}$

el valor de

$(\underset{|z|=r}{\max }\log |F(z)|)/r$

en $r=10^{n!-1}$ està dominat pel terme n−1Plantilla:Sup i est tendix a zero a mida que $n$ tendix a infinit, pero $F(z)$ és, no obstant, de tipo exponencial 1, com es pot vore en observar els punts $z=10^{n!}$.

Vore també

• Teorema de Paley–Wiener
• Espai de Paley-Wiener