Teorema de Paley–Wiener

En matemàtiques, una teorema de Paley-Wiener és qualsevol teorema que relacione les propietats de descomposició d'una funció o distribució en l'infinit en la analticidad de la seua transformada de Fourier. La teorema es nomena para Raymond Paley (1907–1933) i Norbert Wiener (1894–1964). Les teoremes originals no utilisaven el llenguage de les distribucions i, en canvi, s'aplicaven a funcions quadrades integrables. La primera teorema d'este tipo que usa distribucions es va deure a Laurent Schwartz.

Transformacions holomorfas de Fourier

Les teoremes clàssiques de Paley-Wiener fan us de la transformada de Fourier holomorfa en classes de funcions integrables per quadrats compatibles en la llínea real. Formalment, l'idea és prendre l'integral que definix la transformada de Fourier (inversa).

$f(\zeta )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(x)e^{ix\zeta }dx$

i permetre que ζ siga un número complejo en el semiplano superior. Llavors es pot esperar diferenciar baix l'integral per a verificar que les equacions de Cauchy-Riemann es mantenen, i per lo tant, que f definix una funció analítica. No obstant, esta integral pot no estar ben definida, inclús per a F en L²(R); (de fet, com ζ està en la mitat superior del pla, el mòdul de i^ixζ creix exponencialment com $x\to -\mathrm{\infty }$) per lo tant la diferenciació baixe el signe integral està fòra de discussió. Es deu impondre restriccions adicionals a F per a garantisar que esta integral estiga be

La primera restricció d'este tipo és que F s'admeta en R₊: és dir, F ∈ L²(R₊). La teorema de Paley-Wiener ara afirma lo següent: La transformada de Fourier holomorfa de F, definida per

$f(\zeta )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(x)e^{ix\zeta }dx$

para ζ en el semiplano superior és una funció holomórfica. Ademés, per la teorema de Plancherel, un té

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|f(\xi +i\eta )|}^{2}d\xi \le \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|F(x){|}^{2}dx$

i per la convergència dominada,

$\underset{\eta \to 0^{+}}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|f(\xi +i\eta )-f(\xi )|}^{2}d\xi =0.$

Pel contrari, si f és una funció holomórfica en el semiplano superior que satisfà

$\underset{\eta >0}{\sup }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|f(\xi +i\eta )|}^{2}d\xi =C<\mathrm{\infty }$

llavors existix F en L²(R₊) tal que f és la transformada de Fourier holomórfica de F.

En térmens abstractes, esta versió de la teorema descriu explícitament l'espai de Hardy $H^2(𝐑)$. La teorema establix que

$ℱH^2(𝐑)=L^2({𝐑}_{\mathbf{+}})$

Est és un resultat molt útil ya que permet una passada a la transformada de Fourier d'una funció en l'espai de Hardy i realisa càlculs en l'espai L²(R₊) fàcilment comprensible de les funcions integrables quadrades compatibles en l'eix positiu.

En impondre la restricció alternativa de que F siga compatible de forma compacta, s'obté una atra teorema de Paley-Wiener. Supongam que F és compatible en [−A, A], de modo que F ∈ L²(−A,A). Llavors, la transformada de Fourier holomorfa.

$f(\zeta )=\underset{-A}{\overset{A}{\int }}F(x)e^{ix\zeta }dx$

és una funció completa de tipo exponencial A, lo que significa que hi ha una constant C tal que

$|f(\zeta )|\le C{e}^{A|\zeta |},$

i ademés, f és integrable per quadrats sobre llínees horisontals:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(\xi +i\eta ){|}^{2}d\xi <\mathrm{\infty }.$

A l'inversa, qualsevol funció completa de tipo exponencial A que siga integrable en forma quadrada sobre llínees horisontals és la transformada de Fourier holomorfa d'una funció L² admesa en [−A, A].

Teorema de Schwartz de Paley-Wiener

La teorema de Schwartz de Paley-Wiener afirma que la transformada de Fourier d'una distribució de soport compacte en Rⁿ és una funció completa en Cⁿ i proporciona estimacions sobre el seu creiximent en l'infinit. Va ser provat per Laurent Schwartz (1952). La formulació presentada ací és de Hörmander (1976).

En general, la transformada de Fourier es pot definir per a qualsevol distribució templada; ademés, qualsevol distribució de soport compacte v és una distribució templada. Si v és una distribució de soport compacte i f és una funció infinitament diferenciable, l'expressió

$v(f)=v(x\mapsto f(x))$

està ben definit.

Es pot mostrar que la transformada de Fourier de v és una funció (en oposició a una distribució general moderada) donada en el valor s per

$\hat{v}(s)=(2\pi {)}^{-\frac{n}{2}}v(x\mapsto e^{-i⟨x,s⟩})$

i que esta funció pot estendre's als valors de s en l'espai complex Cⁿ. Esta extensió de la transformada de Fourier al domini complex es denomina transformada de Fourier-Laplace.

Teorema de Schwartz. Una funció completa F en Cⁿ és la transformada de Fourier-Laplace d'una distribució v de soport compacte si i solament si para tots els z ∈ Cⁿ,

$|F(z)|\le C(1+|z|{)}^N{e}^{B|\text{Im}(z)|}$

per a algunes constants C, N, B. La distribució v, de fet, es recolzarà en la bola tancada del centre 0 i el radi B.

Les condicions de creiximent adicionals en tota la funció F imponen propietats de regularitat en la distribució v. Per eixemple:

Teorema. Si per a cada N positiu hi ha una C_N constant tal que para tots z ∈ Cⁿ,

$|F(z)|\le C_N(1+|z|{)}^{-N}{e}^{B|\text{Im}(z)|}$

llavors v és una funció infinitament diferenciable, i viceversa.

Els resultats més aguts que donen un bon control sobre el soport singular de v han segut formulats per Hörmander (1976). En particular, siga K un conjunt compacte convexo en Rⁿ en funció de soport H, definida per

$H(x)=\underset{y\in K}{\sup }⟨x,y⟩.$

Llavors el soport singular de v està contingut en K si i solament si hi ha una constant N i una seqüència de constants C_m tal que

$|\hat{v}(\zeta )|\le C_m(1+|\zeta |{)}^N{e}^{H(\text{Im}(\zeta ))}$

per a |Im(ζ)| ≤ mlog(|ζ|+1).

Vore també

• H-quadrat $H^2(𝐑)$

Referències

• .
• .
• .
• .