H-quadrat

En matemàtiques i teoria de control, H ², o H-quadrat és un espai de Hardy en la norma del quadrat. És un subespacio del espai L², i per lo tant és un espai de Hilbert. En particular, és un kernel de reproducció d'espai de Hilbert.

En el círcul unitari

En general, els elements de L² en el círcul unitari estan donats per

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{in\phi }$

mentres que els elements de H² estan donades per

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{in\phi }.$

La proyecció de L² a H² (establint a_n = 0 quan n < 0) és ortogonal.

En el semiplano

La transformada de Laplace $ℒ$donada per

$[ℒf](s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

es pot entendre com un operador llineal

$ℒ:L^2(0,\mathrm{\infty })\to H^2\left({ℂ}^{+}\right)$

a on $L^2(0,\mathrm{\infty })$és el conjunt de funcions quadrades-integrables en la recta numèrica real positiva, i ${ℂ}^{+}$és la mitat dreta del pla complex. És més; és un isomorfisme, en que és invertible, i és isomètric , en que satisfà

$\Vert ℒf{\Vert }_{H^2}=\sqrt{2\pi }\Vert f{\Vert }_{L^2}.$

La transformada de Laplace és "la mitat" d'una transformada de Fourier; de la descomposició

$L^2(ℝ)=L^2(-\mathrm{\infty },0)\oplus L^2(0,\mathrm{\infty })$

un llavors obté una descomposició ortogonal de $L^2(ℝ)$en dos espais resistents

$L^2(ℝ)=H^2\left({ℂ}^{-}\right)\oplus H^2\left({ℂ}^{+}\right).$

Est és essencialment el teorema de Paley-Wiener .

Vore també

• H _&#x221I;

Referències

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.