Transformada binomial

En matemàtiques, en el camp de la combinatòria, la transformada binomial és una transformació de successions, o siga, una transformació d'una successió, que s'obté calculant les seues diferències anteriors. Està relacionada en la transformada de Euler, que és el resultat d'aplicar la transformada binomial a la successió associada en la funció generadora ordinària. A voltes se sol utilisar un cas especial de transformada de Euler per a accelerar la sumación de séries alternades (vore acceleració de séries). Un atre cas especial s'aplica a la série hipergeométrica.

Definició

La transformada binomial, T, d'una successió, ${a_{n}}$ , és la successió ${s_{n}}$ definida com

s_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) a_{k}

Formalment, la transformació s'escriu com $(T a)_{n} = s_{n}$ , a on T és un operador de dimensió infinita en una matriu d'elements $T_{n k}$ :

s_{n} = (T a)_{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} T_{n k} a_{k}

La transformada és una involució, o siga,

T T = 1

o, en notació indexada,

\sum_{k = 0}^{\infty} T_{n k} T_{k m} = δ_{n m}

sent δ la funció delta de Kronecker. Es pot recuperar la série original en

a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) s_{k}

La transformada binomial d'una successió és la n-ésima diferència anterior de la successió, igual a

s_{0} = a_{0}

s_{1} = - (△ a)_{0} = - a_{1} + a_{0}

s_{2} = (△^{2} a)_{0} = - (- a_{2} + a_{1}) + (- a_{1} + a_{0}) = a_{2} - 2 a_{1} + a_{0}

. . .

s_{n} = (- 1)^{n} (△^{n} a)_{0}

Alguns autors definixen a la transformada binomial en un signe adicional, de manera que no siga inversa en si mateixa:

t_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{n}{k}) a_{k}

que la seua inversa és

a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) t_{k}

La transformada binomial és l'operador de desplaçament per als números de Bell. O siga,

B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{k}

a on $B_{n}$ són els números de Bell.

Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
Helmut Prodinger, Some information about the Binomial transform [1] archivat en Wayback Machine., (1992)
Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform, (2006)

Este artícul conté una traducció derivada de «Transformada binomial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.