Série hipergeométrica

En matemàtiques, una série hipergeométrica és una série de potències a on el k-ésimo coeficient de la série és una funció racional de k. Si la série convergix, definix una funció hipergeométrica el domini de la qual és algun subconjunt dels número complejo. Generalment, estes funcions hipergeométricas es representen per mig de la notació _pF_q(a₁,a₂,... ;b₁, b₂,...;z). El primer cas estudiat correspon a la série hipergeométrica ordinària o gaussiana ₂F₁(a,b;c;z), que va ser estudiada sistemàticament per Carl Friedrich Gauss, encara que anteriorment, Leonhard Euler ya havia estudiat este tipo d'estructura.(Gauss (1813)

Definició

De la manera més general, es formulen de la següent manera:

_{p} F_{q} (a_{1}, \dots, a_{p}; b_{1}, \dots, b_{q}; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{1})_{n} (a_{2})_{n} \dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n} (b_{2})_{n} \dots (b_{q})_{n}} \frac{z^{n}}{n!}

a on

(a)_{n} = a (a + 1) (a + 2) \dots (a + n - 1)

és el símbol de Pochhammer.

Convergència

Hi ha certs valors de a_j i b_k per als quals el numerador o el denominador dels coeficients és 0.

Si algun a_j és un sancer negatiu (0, −1, −2, etc.) llavors la série solament té un número finito de terme, i és, de fet un polinomi de grau -a_j.
Si algun b_k és un sancer negatiu (exceptuant el cas previ en -b_k < a_j) llavors els denominadors es fan 0 i la série és indefinida.

Excloent estos casos, el Criteri de d'Alembert pot ser aplicat i determina el ràdio de convergència.

Si p=q+1 llavors el ràtio dels coeficients s'aproxima a 1. Açò implica que el radi de convergència és 1.
Si p≤q llavors el ràtio dels coeficients s'aproxima a 0. Açò implica que el radi de convergència és infinit.
Si p>q+1 llavors el ràtio dels coeficients tendix a infinit. Açò implica que el radi de convergència és 0 i la série no definix una funció analítica.

La qüestió de convergència per a p=q+1 quan z està en el círcul unitari és més difícil. Està demostrat que les série convergixen absolutament en z=1 si

ℜ (\sum b_{k} - \sum a_{j}) > 0

.

Vore també

Referències

(1813).Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores.Göttingen:2 (El manuscrit original de Gauss pot ser trobat en Carl Friedrich Gauss Werke, p. 125)

Este artícul conté una traducció derivada de «Serie hipergeométrica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.