Transformació de successions

En matemàtiques, una transformació de successions és un operador que actua en un espai determinat d'una successió. La transformació de successions inclou mapages llineals com per eixemple la convolución en una atra successió, aixina com la resumación d'una successió. Són comunament usades per a l'acceleració de série, això és, per al orde de convergència d'una successió o série de convergència llenta. La transformacions de successions també són comunament usades per a calcular numèricament l'antilímite d'una série divergent, i són usades en conjunció en métodos d'extrapolació.

Descripció General

Eixemples clàssics de transformació de successions són la transformada binomial, la transformada de Möbius i la transformada de Stirling.

Definicions

Per a una seqüència donada

$S=\{s_n{\}}_{n\in \mathbb{N}},$

la successió transformada és

$𝐓(S)=S^{\prime }=\{s{\text{'}}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}},$

a on els membres de la successió transformada són usualment calculats des d'algun número finito de membres de la seqüència original, açò és:

${s_n}^{\prime }=T(s_n,s_{n+1},\dots ,s_{n+k})$

per a alguns $k$, la qual a sovint depén de $n$ (vore per eixemple la transformada binomial). En el cas més simple, el $s_n$ i el $s{\text{'}}_n$ són reals o complexos. Més generalment, ells poden ser elements del mateix espai vectorial o àlgebra.

En el context d'acceleració de convergència, es diu que la seqüència transformada “convergix més ràpidament” que la seqüència original si

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s{\text{'}}_n-\ell }{s_n-\ell }=0$

a on $\ell$ és el llímit de $S$, assumit com a convergent. En este cas, l'acceleració de convergència és obtinguda. Si la seqüència original és divergent, la transformació de seqüència actua com un método d'extrapolació al antilímite $\ell$.

Si el mapage $T$ és llineal en cada u dels seus arguments, v.g. para

$s{\text{'}}_n=\sum _{m=0}^k{c}_m{s}_{n+m}$

per a algunes constants $c_0,\dots ,c_k$ (les quals poden dependre de “n”), la transformació de seqüència $𝐓$ és cridada una “transformació de seqüència llineal.” La transformació de seqüència que no són llineals són cridades transformacions de seqüència no llineals.