Série de Dirichlet

En matemàtiques, una série de Dirichlet és tota série del tipo

Funció de Dirichlet en el pla complex.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s},$

a on s i a_n per a n = 1, 2, 3, ... són número complex.

Les séries de Dirichlet juguen un número important de rols en la teoria analítica de números. La definició més popularisada de la funció zeta de Riemann és una série Dirichlet, tal com són les funcions L de Dirichlet. Es conjectura que les séries de classe tipo Selberg satisfan l'hipòtesis generalisada de Riemann. La série ha segut nomenada en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Definició formal

Una série de Dirichlet és tota série del tipo

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}z}$

a on $(a_n{)}_n$ és una successió de número complex, $z$ és un número complex i $({\lambda }_n{)}_n$ és una successió real, creixent i divergent. Alguns autors exigixen que la successió $({\lambda }_n{)}_n$ siga ademés de térmens positius. Dita exigència es complix en la nostra definició llevat para una cantitat finita de térmens.

Quan ${\lambda }_n=\log (n)$ s'obté la série ordinària de Dirichlet:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s},$

Eixemples

La série de Dirichlet més famosa és

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s},$

que és la funció zeta de Riemann. Una atra série de Dirichlet és:

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

a on μ(n) és la funció de Möbius. És possible obtindre esta i vàries de les séries indicades a continuació realisant una inversió de Möbius i una convolución de Dirichlet a séries conegudes. Per eixemple, donat un caràcter de Dirichlet $\chi (n)$ es té que

$\frac{1}{L(\chi ,s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)\chi (n)}{n^s}$

a on $L(\chi ,s)$ és una funció L de Dirichlet.

Atres identitats inclouen

$\frac{\zeta (s-1)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (n)}{n^s}$

a on φ(n) és la funció indicatriz de Euler

$\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n)}{n^s}$

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n){\sigma }_b(n)}{n^s}$

a on σ_a(n) és la funció divisor. Atres identitats que involucren a la funció divisor d=σ₀ són

$\frac{{\zeta }^3(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n^2)}{n^s}$

$\frac{{\zeta }^4(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n{)}^2}{n^s}$

El logaritme de la funció zeta està donat per

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\Lambda (n)}{\log (n)}\frac{1}{n^s}$

per a $\mathrm{\Re }(s)>1$. Ací, $\Lambda (n)$ és la funció de von Mangoldt. La derivada logarítmica és per lo tant

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\Lambda (n)}{n^s}$

Estos últims dos són casos especials d'una relació més generalisada per a les derivades de la série de Dirichlet, indicades a continuació.

Donada la funció de Liouville $\lambda (n)$, es té que

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}$

Un atre eixemple, en canvi es relaciona en la sumixca de Ramanujan:

$\frac{{\sigma }_{1-s}(m)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n(m)}{n^s}$

Vore també

• Regularisació de la funció zeta

Bibliografia

• Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
• G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
• The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections

• Plantilla:Planetmath reference