Funció divisor

Funció divisor σ₀(n) representada fins a n=250.

Funció sigma σ₁(n) representada fins a n=250. Un atre tipo de funció en la que s'usen els divisores d'un número.

En matemàtiques, i específicament en teoria de números, una funció divisor és una funció aritmètica relacionada en els divisorés d'un sancer. Quan nos referim a la funció divisor, este conte el número de divisores d'un sancer. Est apareix en un considerable número d'identitats, incloent relacions en la Funció zeta de Riemann i les séries de Eisenstein de formes modular. Les funcions divisor varen ser estudiades per Ramanujan, qui va donar un número important de congruèncias i identitats.

Una funció relacionada és funció suma de divisores, la qual, com el seu nom ho diu, és la suma sobre les funcions divisor.

Definició

La funció suma de divisores positius ${\sigma }_x(n)$ es definix com la suma de les $x$-ésimas potències dels divisorés positius de $n$:

${\sigma }_x(n)=\sum _{d|n}{d}^x.$

Les notacions $d(n)$ i $\tau (n)$ (la funció tau) són usades per a denotar ${\sigma }_0(n)$, que és el número de divisores de $n$. Quan $x$ és 1, la funció és anomenada «funció sigma» o «funció suma de divisores», i la variable subscrita és omesa, després $\sigma (n)$ és equivalent a ${\sigma }_1(n)$. La suma alícuota $s(n)$ de $n$ és la suma dels divisores propis de $n$ (açò és, tots els divisores a excepció de $n$), de manera que $s(n)={\sigma }_1(n)-n$. La seqüència alícuota de $n$ es forma per repetides aplicacions de la funció suma alícuota.

Taula de valors fins al 15

n	Divisores	σ0(n)	σ1(n)	Suma alícuota
1	1	1	1	0
2	1,2	2	3	1
3	1,3	2	4	1
4	1,2,4	3	7	3
5	1,5	2	6	1
6	1,2,3,6	4	12	6
7	1,7	2	8	1
8	1,2,4,8	4	15	7
9	1,3,9	3	13	4
10	1,2,5,10	4	18	8
11	1,11	2	12	1
12	1,2,3,4,6,12	6	28	16
13	1,13	2	14	1
14	1,2,7,14	4	24	10
15	1,3,5,15	4	24	9

Vore també

• Funció φ de Euler
• Divisor unitari

Bibliografia

• Eric Bach and Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, mire les pàgines 234 en secció 8.8.
• Robin, G. "Grans Valeurs de la fonction somme dones diviseurs et hypothèse de Riemann." J. Math. Pures Appl. 63, 187-213, 1984. Publicació original de la teorema de Robin.