Funció suma de divisores

En teoria de números, la funció suma de divisores és una funció que és una suma sobre la funció divisor. S'utilisa en freqüència en l'estudi del comportament asintòtic de la funció zeta de Riemann. Varis dels estudis sobre el comportament de la funció divisor són a voltes cridats problemes del divisor.

Definició

La funció suma de divisores és definida com

$D(x)=\sum _{n\le x}d(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j,k}{jk\le x}}1$

a on

$d(n)={\sigma }_0(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j,k}{jk=n}}1$

és la funció divisor. La funció divisor conte el número de maneres que un número entero n pot ser escrit com a producte de dos sancers. Més generalment, es pot definir

$D_k(x)=\sum _{n\le x}{d}_k(n)=\sum _{mn\le x}{d}_{k-1}(n)$

a on d_k(n) conta el número de maneres que un número entero n pot ser escrit com a producte de k números.

Problema del divisor de Dirichlet

Trobar una forma tancada per a esta expressió en forma de suma sembla no estar a l'alcanç de les tècniques disponibles, pero si és possible donar aproximacions. El comportament principal de la série no és difícil d'obtindre. Dirichlet, usant el método d'hipérbola de Dirichlet va demostrar que

$D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)$

a on $\gamma$ és la constant de Euler-Mascheroni, i el terme no principal com

$\Delta (x)=𝒪\left(\sqrt{x}\right).$

a on, $𝒪$ denota la notació de Landau. El problema del divisor de Dirichlet, lo que precisament expressa, és trobar l'ínfim de tots els valors $\theta$ per als quals

$\Delta (x)=𝒪\left(x^{\theta +ϵ}\right)$

es complix, per a tot $ϵ>0$. A data de 2011, el problema seguix sense resoldre, els progressos són molt llents. Varis dels métodos funcionen igual per a este problema i per al problema del círcul de Gauss. La secció F1 de Unsolved Problems in Number Theory inspecciona qué és i no és conegut sobre estos problemes.

En 1904, Georgi Voronói va demostrar que el terme error pot ser millorat a $𝒪(x^{1/3}\log x).$ En 1916, G.H. Hardy va mostrar que $\inf \theta \ge 1/4$. En particular, ell va demostrar que per a alguna constant $K$, existixen valors de x per als quals $\Delta (x)>K{x}^{1/4}$ i valors de x per als quals $\Delta (x)<-K{x}^{1/4}$. En 1922, J. van der Corput va millorar el llímit de Dirichlet a $\inf \theta \le 33/100.$ En 1928, J. van der Corput va demostrar que $\inf \theta \le 27/82.$ En 1950, Chih Tsung-tao i independentment en 1953 H. E. Richert varen demostrar que $\inf \theta \le 15/46.$ En 1969, Grigori Kolesnik va demostrar que $\inf \theta \le 12/37$. En 1973, Grigori Kolesnik va demostrar que $\inf \theta \le 346/1067$. En 1982, Grigori Kolesnik va demostrar que $\inf \theta \le 35/108$.

En 1988, H. Iwaniec and C. J. Mozzochi varen demostrar que $\inf \theta \le 7/22.$ En 2003, M.N. Huxley va perfeccionar el método per a mostrar que $\inf \theta \le 131/416.$

Aixina que, el verdader valor de $\inf \theta$ es trobarà en algun lloc entre 1/4 i 131/416; és àmpliament conjeturado que siga exactament 1/4. L'evaluació directa de $\Delta (x)$ dona crèdit a esta conjectura, ya que $\Delta (x)/x^{1/4}$ sembla estar aproximadament distribuïda normalment en desviació estàndar d'1 per als x fins a a lo manco 10¹⁶.

Referències

• H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
• E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function, (1951) Oxford at the Clarendon Press, Oxford. (Vore capítul 12 per a una discussió del problema generalisat del divisor)
• (Proporciona una exposició introductòria del problema del Divisor de Dirichlet.)
• H. E. Rose. A Course in Number Theory., Oxford, 1988.
• M.N. Huxley (2003) 'Exponential Sums and Lattice Points III', Proc. London Math. Soc. (3)87: 591-609