Caràcter de Dirichlet

Caràcter de Dirichlet

En teoria de números, els caràcters de Dirichlet són un cert tipo de funcions aritmètiques que deriven de caràcters completament multiplicativos sobre les unitats $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$. Els caràcters de Dirichlet són usats per a definir les Funcions L de Dirichlet, les quals són funcions meromorfas, en una varietat interessant de propietats analítiques. Si $\chi$ és un caràcter de Dirichlet, es definix la seua série L de Dirichlet de la següent manera:

$L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$

a on s és un número complejo en la partix real > 1. Per continuació analítica, esta funció pot ser estesa a una funció meromorfa en tot el pla complex. Les funcions L de Dirichlet són generalisacions de la funció zeta de Riemann i apareixen en la hipòtesis generalisada de Riemann.

Els caràcters de Dirichlet i les seues L-séries varen ser introduïts per Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, en 1831, en la finalitat de demostrar el teorema de Dirichlet sobre cosins en progressions aritmètiques. Només els va estudiar per a s reals i sobretot quan s tendix a 1. L'extensió d'estes funcions a s complexos en el complet pla complex va ser obtinguda per Bernhard Riemann en 1859.

Definició axiomàtica

Un caràcter de Dirichlet és qualsevol funció χ de número entero a número complejo en les següents propietats:

1. Existix un sancer positiu k tal que χ(n) = χ(n + k) para tot n.
2. Si mcd (n,k) > 1 llavors χ(n) = 0; si mcd(n,k) = 1 llavors χ(n) ≠ 0.
3. χ(mn) = χ(m)χ(n) para tot els sancers m i n.

Estes conseqüències són importants:

Per la propietat 3), χ(1)=χ(1×1)=χ(1)χ(1); lloc que mcd(1, k) = 1, per la propietat 2) es té que χ(1) ≠ 0, aixina que

4. χ(1) = 1.

Les propietats 3) i 4) mostren que cada caràcter és completament multiplicativo.

La propietat 1) diu que un caràcter és periòdic en periodo k; es diu que χ és un caràcter segons el modulus k. Açò és equivalent a dir que

5. Si a ≡ b (mod k) llavors χ(a) = χ(b).

Si el mcd(a,k) = 1, el teorema de Euler diu que a^φ(k) ≡ 1 (mod k) (a on φ(k) és la funció φ de Euler). Per lo tant, per 5) i 4), χ(a^φ(k)) = χ(1) = 1, i per 3), χ(a^φ(k)) =χ(a)^φ(k). Aixina que

6. Per a tot a primer relatiu en k, χ(a) és una φ(k)-ésima raïl de l'unitat complexa.

L'únic caràcter de periodo 1 es diu caràcter trivial. Note's que qualsevol caràcter s'anula en 0 llevat el caràcter trivial, el qual és 1 per a tots els sancers.

Un caràcter és cridat principal si este dona el valor 1 per a arguments que siguen coprimos en els seus mòduls i que d'una atra manera siguen 0. Un caràcter és cridat real si pren valors reals únicament. Un caràcter que no és real és denominat complex.

El signe d'un caràcter χ depén del seu valor en −1. Específicament, es diu que χ és impar si χ(−1) = −1 i parell si χ(−1) = 1.

Vore també

• Funció L de Dirichlet
• Série de Dirichlet
• Funció zeta de Riemann