Funció L de Dirichlet

En matemàtiques, es diu série L de Dirichlet a una funció de la forma

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}.$

a on χ és un caràcter de Dirichlet i s una variable complexa la component real de la qual és major que 1. Per mig d'una extensió analítica esta funció pot ser estesa a una funció merofórmica sobretot el pla complex, i llavors li la crida funció L de Dirichlet i li l'escriu com a L(s,χ). Un cas especial important de la funció L de Dirichlet, és la Funció zeta de Riemann, en el qual χ és el caràcter trivial,

Estes funcions són nomenades en honor de Peter Gustav Lejeune Dirichlet qui les va introduir en Dirichlet (1837) per a demostrar el teorema de Dirichlet sobre progressions aritmètiques, que també du el seu nom. En el curs de la prova, Dirichlet va demostrar que L(s, χ) no és zero en s = 1. Per una atra part, si χ és principal, llavors el L-la corresponent funció L de Dirichlet té un pol simple en s = 1.

Zeros de les funcions L de Dirichlet

Si χ és un caràcter primitiu en χ(-1)=1, llavors els únics zeros de L(s,χ) en Re(s)<0 són els sancers negatius parells. Si χ és un caràcter primitiu en χ(-1)=-1, llavors els únics zeros de L(s,χ) en Re(s)<0 són els sancers negatius impars.

Se sap que existixen per a totes les funcions L de Dirichlet regions lliures de zeros, incloent i més allà de la llínea Re(s)=1 similars a les de la funció zeta de Riemann, existint la possibilitat de l'existència d'un zero de Siegel.

En forma similar com es conjectura que la funció zeta de Riemann obedix a l'hipòtesis de Riemann , es conjectura que les funcions L de Dirichlet obedixen a l'hipòtesis generalisada de Riemann.

Equació funcional

Supongam que χ és un caràcter primitiu al mòdul k. Definint

$\epsilon (s,\chi )={\left(\frac{\pi }{k}\right)}^{-(s+a)/2}\Gamma \left(\frac{s+a}{2}\right)L(s,\chi ),$

a on Γ representa la funció gamma i el símbol $a$ està donat per

$a=\{\begin{array}{cc}0;& \text{si }\chi (-1)=1,\\ 1;& \text{si }\chi (-1)=-1,\end{array}$

es té llavors l'equació funcional

$\epsilon (1-s,\bar{\chi })=\frac{i^a{k}^{1/2}}{\tau (\chi )}\epsilon (s,\chi ).$

A on τ(χ) expressa la Sumixca de Gauss

$\sum _{n=1}^k\chi (n)\exp (2\pi im/q).$

Notar que |τ(χ)|=k^1/2.