Fòrmula d'inversió de Möbius

La clàssica fòrmula d'inversió de Möbius va ser introduïda en la teoria de números durant el XIX per August Ferdinand Möbius. Va ser generalisada més vesprada a atres «fòrmules d'inversió de Möbius».

Formulació

La versió clàssica establix que si g(n) i f(n) són funcions aritmètiques satisfent

$g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\text{para todo entero }n\ge 1$

llavors

$f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)\mu \left(\frac{n}{d}\right)=\sum _{d\mid n}g\left(\frac{n}{d}\right)\mu (d)\text{para todo entero }n\ge 1$

a on μ és la funció de Möbius i les sumes s'estenen sobre tots els divisorés positius de n. La fòrmula també és correcta si f i g són funcions dels número entero positius en algun grup abeliano. Les dos funcions es diu que són la transformada de Möbius l'una de l'atra. En el llenguage de convoluciones (vore funció multiplicativa), la primera fòrmula pot expressar-se com

$g=f*1$

a on "*" denota l'operador convolución de Dirichlet, i 1 és la funció constant f(n)=1. De la mateixa manera, la segona s'expressa com

$f=\mu *g.$

Generalisacions

Una formulació equivalent de la fòrmula d'inversió, més útil en combinatòria és com seguix:

Suponga que F(x) i G(x) són funcions complex-valorades definides en un interval [1, ∞) tals que

$G(x)=\sum _{1\le n\le x}F\left(\frac{x}{n}\right)\text{ para todo }x\ge 1$

llavors

$F(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n)G\left(\frac{x}{n}\right)\text{ para todo }x\ge 1.$

ací les sumes s'estenen sobre tots els número entero positius n que són menors o iguals que x.

L'inversió de Möbius tractada dalt és l'inversió original de Möbius. Quan el conjunt parcialment ordenat dels número natural ordenats per la divisibilidad és substituido per atres conjunts parcialment ordenats localment finitos, un obté atres fòrmules d'inversió de Möbius; per a una resenya d'elles, vore àlgebra d'incidència.

Vore també

• August Ferdinand Möbius
• Àlgebra d'incidència
• Funció multiplicativa