Regularisació de la funció zeta

En matemàtiques i física teòrica, la regularisació de la funció zeta és un tipo de regularisació o método de sumabilidad que assigna valors finitos a sumes divergents o productes, i en particular pot usar-se per a definir determinants i traces d'alguns operadors autoadjuntos. La tècnica s'aplica ara comunament a problemes de física, pero té els seus orígens en els intents de donar significats precisos a sumes mal condicionades que apareixen en teoria de números.

Definició

Existixen varis métodos de suma diferents denominats regularisació de la funció zeta per a definir la suma d'una série possiblement divergent a₁ + a₂ + ....

Un método consistix en definir la seua suma regularisada zeta per a que siga ζ_A(−1) si esta està definida, a on la funció zeta es definix per a grans Re(s) per

${\zeta }_A(s)=\frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s}+\cdots$

si esta suma convergix, i per continuació analítica en els demés casos.

En el cas en que a_n = n, la funció zeta és la funció zeta de Riemann ordinària. Este método va ser utilisat per Euler per a "sumar" la série 1 + 2 + 3 + 4 + ... a ζ(−1) = −1/12.

Hawking (1977) va demostrar que en l'espai pla, en el que es coneixen els valors propis dels laplacianos, es pot calcular explícitament la funció zeta corresponent a la funció de partició. Considerem un camp escalar φ contingut en una gran caixa de volum V en l'espaciotiempo pla a la temperatura T = β⁻¹. La funció de partició es definix per mig d'una integral de trayectòria sobre tots els camps φ en l'espai euclídeo obtingut posant τ = it que són zero en les parets de la caixa i que són periòdics en τ en periodo β. En esta situació a partir de la funció de partició calcula energia, entropía i pressió de la radiació del camp φ. En el cas d'espais plans els valors propis que apareixen en les cantitats físiques són generalment coneguts, mentres que en el cas d'espais curvos no són coneguts: en este cas es necessiten métodos asintòtics.

Un atre método definix el producte infinit possiblement divergent a₁a₂.... és exp(−ζ′_A(0)). Ray y Singer (1971) varen usar açò per a definir el determinant d'un operador autoadjunto positiu A (el Laplaciano d'una varietat Riemanniana en la seua aplicació) en valor propis a₁, a₂, ...., i en este cas la funció zeta és formalment la traça de A^−s. Minakshisundaram y Pleijel (1949) va demostrar que si A és el Laplaciano d'un colector Riemanniano compacte llavors la funció zeta de Minakshisundaram-Pleijel convergix i té una continuació analítica com una funció meromorfa a tots els número complejo, i Seeley (1967) va estendre açò a operador pseudo-diferencial elíptics A en colectors Riemannianos compactes. Aixina, per a tals operadors es pot definir el determinant utilisant la regularisació de la funció zeta. Vore "torsió analítica".

Hawking (1977) va sugerir utilisar esta idea per a evaluar integrals de trayectòria en espaciotiempos curvos. Va estudiar la regularisació de la funció zeta en la finalitat de calcular les funcions de partició per al gravitón tèrmic i els quants de matèria en el fondo curve, com en l'horisó dels forats negres i en el fondo de Sitter, utilisant la relació de la transformada de Mellina inversa en la traça del núcleu de l'equació de la calor.

Eixemple

El primer eixemple en el que es dispon de regularisació de la funció zeta apareix en l'efecte Casimir, que es dona en un espai pla en les contribucions del camp quàntic en tres dimensions espacials. En este cas devem calcular el valor de la funció zeta de Riemann en -3, que divergix explícitament. No obstant, es pot continuació analítica fins a s = -3, a on és d'esperar que no hi haja cap pol, donant aixina un valor finito a l'expressió. Un eixemple detallat d'esta regularisació en el treball es dona en l'artícul sobre l'eixemple detallat del efecte Casimir, a on la suma resultant és molt explícitament la funció zeta de Riemann (i a on la continuació analítica aparentment legerdemain elimina un infinit aditiu, deixant un número finito físicament significatiu).

Un eixemple de regularisació per funció zeta és el càlcul del valor d'expectativa en el buit de l'energia d'un camp de partícules en teoria quàntica de camps. En térmens més generals, l'enfocament de la funció zeta pot utilisar-se per a regularisar tot el tensor energia-moment tant en el espaciotiempo pla com en el curve.

El valor no regulat de l'energia ve dau per una suma sobre l'energia de punt zero de tots els modos d'excitació del buit:

$⟨0|T_{00}|0⟩=\sum _n\frac{\hslash |{\omega }_n|}{2}$

Ací, $T_{00}$ és la component zeroth del tensor energia-moment i la suma (que pot ser una integral) s'entén que s'estén sobre tots els modos d'energia (positius i negatius) ${\omega }_n$; el valor absolut nos recorda que l'energia es pren com a positiva. Esta suma, tal com està escrita, sol ser infinita (${\omega }_n$ sol ser llineal en n). La suma pot ser regularisada escrivint-la com

$⟨0|T_{00}(s)|0⟩=\sum _n\frac{\hslash |{\omega }_n|}{2}|{\omega }_n{|}^{-s}$

a on s és algun paràmetro, pres com número complejo. Per a grans reals s majors que 4 (per a l'espai tridimensional), la suma és manifestament finita, i per lo tant a sovint pot ser evaluada teòricament.

La regularisació zeta és útil ya que a sovint pot utilisar-se de manera que es preserven les distintes simetria del sistema físic. La regularisació de la funció zeta s'utilisa en teoria de camps conformes, renormalización i en la fixació de la dimensió crítica del espaciotiempo de la teoria de cordes.

Vore també

• Funció generatriz
• Fòrmula de Perron
• Renormalización
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯