1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Prova animada de la fòrmula que dona la suma dels n primers número entero 1 + 2 + ⋯ + n.

Les primeres quatre sumes parcials de la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. La paràbola és la seua asíntota "suavisada"; el seu creuament en l'eix i és infinit.

La suma infinitaels térmens de la qual són els número natural1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ és una série divergent. La n-ésima suma parcial de la série és el número triangular

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},$

que incrementa sense llímit mentres n tendix al infinit. Ya que la successió de sumes parcials no convergix a un llímit finit, la série no té una suma.

Encara que a primera vista sembla que la série no té cap valor significatiu, pot ser manipulada per a produir varis resultats matemàticament interessants, alguns dels quals tenen aplicacions en atres àrees com l'anàlisis complex, la teoria quàntica de camps i la teoria de cordes. Varis métodos de suma s'usen en matemàtiques per a assignar-li valors numèrics a séries divergents. En particular, els métodos de regularisació de la funció zeta i el sumatorio de Ramanujan li assignen un valor de ^-⁄₁, que està expressat per una fòrmula famosa:

$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12}$

a on el costat esquerre deu interpretar-se com el valor obtingut utilisant un dels métodos de suma abans mencionats i no com la suma d'una série infinita en el seu significat habitual. Estos métodos tenen aplicacions en atres camps com l'anàlisis complex, la teoria quàntica de camps i la teoria de cordes.

En una monografia sobre la teoria moonshine, el matemàtic Terry Gannon, de l'Universitat d'Alberta, califica esta equació de "una de les fòrmules més notables de la ciència".

Sumes parcials

Els primers sis números triangulars

Artícul principal → Número triangular.

Les sumes parcials de la série 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ són 1, 3, 6, 10, 15, etc. La n-ésima suma parcial està donada per una fòrmula simple:

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$

Esta equació ya era coneguda pels Pitagórico des d'a lo manco el VI. Els números que complixen esta forma es diuen números triangulars perque poden ser acomodats per a formar un triàngul equilátero.

La successió infinita de números triangulars divergix cap a +∞, aixina que per definició la série infinita 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ també divergix a +∞. La divergència és una simple conseqüència de la forma de la série: els térmens no s'acosten a zero, aixina que la série divergix pel test del terme.

Sumabilidad

Entre les séries clàssiques divergents, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ és relativament difícil de manipular cap a un valor finit. Molts métodos de suma s'usen per a assignar valors numèrics a les séries divergents, alguns són més poderosos que uns atres. Per eixemple, la sumación de Cesàro és un método reconegut que sumixca la série de Grandi, la série lleument divergent 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, a ¹⁄₂. la suma d'Abel és un método més poderós que no solament suma la série de Grandia a ¹⁄₂, sino que també suma la série més complexa 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ a ¹⁄₄.

A diferència de les séries anteriors, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ no es pot sumar per mig de la sumación de Cesàro ni la d'Abel. Eixos métodos funcionen en séries divergents que oscilen, pero no poden produir una resposta finita per a séries que divergixen a +∞. La majoria de les definicions més elementals de la suma d'una série divergent són estables i llineals, i qualsevol método que és tant estable i llineal no pot sumar 1 + 2 + 3 + ⋯ a un valor finit; vore més avall. Es requerixen métodos més alvançats, com la regularisació de la funció zeta o el sumatorio de Ramanujan. També és possible argumentar el valor de −¹⁄₁₂ usant heurístiques grosso modo relacionades en estos métodos.

Heurística

Un passage del primer quadern de Ramanujan, descrivint la "constant" de la série

Srinivasa Ramanujan va presentar dos derivació de "1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −¹⁄₁₂" en el capítul 8 del seu primer quadern. la derivació més simple i menys rigorosa ocorre en dos passos, de la següent forma.

La primera intuïció clau és que la série de números positius 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ és semblada a la série alternada 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯. L'última série també és divergent, pero és més fàcil treballar en ella; hi ha varis métodos clàssics que li assignen un valor, que han segut explorats des del sigle xviii.

A fi de transformar la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ en 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, és possible restar-li 4 al segon terme, 8 al quart terme, 12 al sext terme, i continuar. La cantitat total que deu ser restada és 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯, que és 4 voltes la série original. Estes relacions poden ser expressades en una miqueta d'àlgebra. Qualsevol que siga la "suma" de la série, es pot cridar c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Llavors, es multiplica esta equació per 4 i es resta la segona equació de la primera:

$\begin{array}{ccccccc}c& =& 1+2& & +3+4& & +5+6+\cdots \\ 4c& =& 4& & +8& & +12+\cdots \\ -3c& =& 1-2& & +3-4& & +5-6+\cdots \\ \end{array}$

La segona intuïció clau és que la série alternada 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ és l'expansió formal de la série de potències de la funció ¹⁄_{(1 + x)²}, a on x es definix com 1. D'acort en açò, escriu Ramanujan:

$-3c=1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{(1+1{)}^2}=\frac{1}{4}$

En dividir abdós costats per -3, s'obté c = −¹⁄₁₂.

Parlant de forma general, és incorrecte manipular séries infinites com si anaren sumes finitas. Per eixemple, si s'insertaren zeros en posicions arbitràries d'una série divergent, és possible aplegar a resultats que no són consistents conseguixc mateixos, menys encara en atres métodos. En particular, el pas 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ no està justificat per la llei de l'identitat aditiva. Com a eixemple extrem, afegir un sol zero a l'inici de la série pot dur a resultats inconsistentes.

Una forma de remediar esta situació, i de llimitar els llocs a on es poden insertar els zeros, és dur un registre de cada terme en la série en adjuntar una dependència sobre alguna funció. En la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, cada terme n és solament un número. Si el terme n és "promogut" a una funció n^−s, a on s és una variable complexa, llavors es pot assegurar que solament s'afigen térmens similars. La série resultant pot ser manipulada en major rigor, i la variable s pot ser definida com −1 despuix. L'implementació d'esta estratègia es coneix com regularisació de la funció zeta.

Regularisació de la funció zeta

Gràfica de ζ(s). Per a s > 1, la série convergix i ζ(s) > 1. La continuació analítica al voltant del pol en s = 1 du a una regió de valors negatius, incloent ζ(−1) = −¹⁄₁₂

En la regularisació de la funció zeta, la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n$ és reemplaçada per la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}$. La segona série és eixemple d'una série de Dirichlet. Quan la part real de s és major que 1, la série Dirichlet convergix, i la seua suma és la funció zeta de Riemann ζ(s). Per una atra part, la série de Dirichlet divergix quan la part real de s és menor que o igual a 1, aixina que, en particular, la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ que resulta de declarar s = –1 no convergix. El benefici d'introduir la funció zeta de Riemann és que pot ser definida per a atres valors de s per continuació analítica. Llavors és possible definir la suma zeta regularisada de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ per a ser ζ(−1).

Des d'este punt, hi ha vàries formes de provar que ζ(−1) = −¹⁄₁₂. Un método, sobre les llínees de raonament de Euler, usa la relació entre la funció zeta de Riemann i la funció eta de Dirichlet η(s). La funció zeta està definida per una série alternada de Dirichlet, aixina que este método és paralel a l'heurística prèvia. A on abdós séries de Dirichlet convergix, una té les identitats:

$\begin{array}{cccccccc}\zeta (s)& =& 1^{-s}+2^{-s}& & +3^{-s}+4^{-s}& & +5^{-s}+6^{-s}+\cdots & \\ 2\times 2^{-s}\zeta (s)& =& 2\times 2^{-s}& & +2\times 4^{-s}& & +2\times 6^{-s}+\cdots & \\ (1-2^{1-s})\zeta (s)& =& 1^{-s}-2^{-s}& & +3^{-s}-4^{-s}& & +5^{-s}-6^{-s}+\cdots & =\eta (s)\\ \end{array}$

L'identitat $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)$ seguix sent verdadera quan abdós funcions s'estenen per continuació analítica per a incloure valors de s per als quals la série dalt mencionada divergix. Substituint s = −1, s'obté −3ζ(−1) = η(−1). Ara, calculant η(−1) és una tasca més senzilla, ya que la funció eta és igual a la suma d'Abel de les série que la definix, que és un llímit d'un costat:

$-3\zeta (-1)=\eta (-1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(1-2x+3x^2-4x^3+\cdots )=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{4}$

En dividir abdós costats per −3, s'obté ζ(−1) = −¹⁄₁₂.

Regularisació de cort

El comportament asintòtic del "suavisat". El creuament de la paràbola en l'eix i és −¹⁄₁₂.

El método de regularisació usant una funció de tall pugues "suavisar" la série per a aplegar a −¹⁄₁₂. El "suavisat" és un pont conceptual entre la regularisació de la funció zeta, en la seua dependència en l'anàlisis complex, i el sumatorio de Ramanujan, en la seua drecera a la fòrmula de Euler-Maclaurin. En lloc d'això, el método opera directament en transformacions conservativas de la série, usant métodos del anàlisis real.

L'idea és reemplaçar la série discreta de mal comportament $\sum _{n=0}^{N}n$ en una versió suavisada

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}nf\left(\frac{n}{N}\right)$,

a on f és una funció de tall en propietats apropiades. La funció de tall deu ser normalisada a f(0) = 1; açò és una normalisació diferent a l'usada en equacions diferencials. La funció de tall deu tindre suficients derivades acotades per a suavisar els picos o "arrugues" de la série, i deuria decaure a 0 més ràpit que lo que creix la série. Per conveniència, es pot requerir que f siga una funció contínuament diferenciable, acotada i en soport compacte. Llavors es pot provar que esta suma contínua és asintòtica a −¹⁄₁₂ + CN², a on C és una constant que depén de f. el terme constant de l'expansió asintòtica no depén de f: és necessàriament el mateix valor donat per la continuació analítica, −¹⁄₁₂.

Sumatorio de Ramanujan

la sumixca de Ramanujan de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ també és −¹⁄₁₂. Ramanujan va escriure en la seua segona carta a G. H. Hardy, en data del 27 de febrer de 1913:

Dear Sir, I am very much gratified on perusing your letter of the 8th February 1913. I was expecting a reply from you similar to the one which a Mathematics Professor at London wrote asking em to study carefully Bromwich's Infinite Séries and not fall into the pitfalls of divergent séries. … I told him that the sum of an infinite number of terms of the séries: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1⁄12 under my theory. If I tell you this you will at onze point out to em the lunatic asylum as my goal. I dilate on this simply to convince you that you will not be able to follow my methods of proof if I indicate the lines on which I proceed in a single letter. …

Estimat Senyor, estic molt satisfet d'examinar la seua carta del 8 de febrer de 1913. Esperava una resposta de vosté similar a la que un professor de matemàtiques en Londres em va escriure demanant-me estudiar cuidadosadament Séries infinites de Bromwich i no caure en la trampa de séries divergents. … Li vaig dir que la suma d'un número infinit de térmens de la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1⁄12 d'acort en la meua teoria. Si li dic açò, vosté immediatament m'indicarà el camí a l'asil de lunáticos com la meua meta. He demorat en açò simplement per a convéncer-li que no serà capaç de seguir els meus métodos de prova si yo indique les llínees sobre les quals puc procedir en una sola carta. …

El sumatorio de Ramanujan és un método per a aïllar el terme constant en la fòrmula de Euler-Maclaurin per a la suma parcial d'una série. Per a una funció f, la suma clàssica de Ramanujan per a la série $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)$ es definix de la següent forma:

$c=-\frac{1}{2}f(0)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(0),$

a on f^(2k−1) és la (2k − 1)-ésima derivada de f i B_2k és el 2k-ésimo número de Bernoulli: B₂ = ¹⁄₆, B₄ = −¹⁄₃₀, i aixina successivament. Establint f(x) = x, la primera derivada de f és 1, i tots els demés térmens desapareixen, i llavors:

$c=-\frac{1}{6}\times \frac{1}{2!}=-\frac{1}{12}.$

Per a evitar inconsistencias, la teoria moderna de sumes de Ramanujan requerix que f siga "regular" en el sentit que les derivades d'órdens majors de f decaiguen lo suficientment ràpit per a que el restant dels térmens en la fòrmula Euler-Maclaurin tendixquen a 0. Ramanujan tácitamente va assumir esta propietat. El requisit de regularitat prevé l'us d'un sumatorio de Ramanujan sobre séries espayades com 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯, perque no hi ha funció regular que prenga eixos valors. En lloc d'això, una série aixina deu ser interpretada per la regularisació de la funció zeta. Per esta raó, Hardy recomana "gran precaució" en aplicar les sumes de Ramanujan de séries conegudes per a trobar les sumes de séries relacionades.

Fracàs dels métodos estables de sumación llineal

Un método de sumación que és estable i llineal no pot sumar la série 1 + 2 + 3 + ⋯ a cap valor finit. (Estable vol dir que afegir un terme a l'inici de la série incrementa la suma per eixa mateixa cantitat.) Açò es pot vore de la següent forma. Si

1 + 2 + 3 + ⋯ = x

llavors afegint 0 a abdós costats dona

0 + 1 + 2 + ⋯ = 0 + x = x per estabilitat.

Per linearidad, un pot sostraure la segona equació de la primera per a donar

1 + 1 + 1 + ⋯ = x – x = 0.

Afegint 0 a abdós costats de nou dona

0 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = 0,

i sostraent les últimes dos séries dona

1 + 0 + 0 + ⋯ = 0

la qual cosa contradiu l'estabilitat.

Els métodos dalt mencionats per a sumar 1 + 2 + 3 + ⋯ No són ni estables ni llineals.

Bibliografia

• (1995) Ramanujan: letters and commentary, American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0287-9.
• Hardy, G. H. (1949). Divergent Séries, Clarendon Press.
• Zee, A. (2003). Quàntum field theory in a nutshell, Princeton UP. ISBN 0-691-01019-6.