Sumatorio de Ramanujan

El sumatorio de Ramanujan és una tècnica inventada pel matemàtic indi Srinivasa Ramanujan per a assignar una suma a una série divergent infinita. A pesar de que el sumatorio de Ramanujan d'una série divergent no és una suma en el sentit tradicional, esta té propietats que les fan matemàticament útils en l'estudi de séries infinites divergents, per a les quals la suma normal no està definida.

Desenrolle

El sumatorio de Ramanujan es desenrolla essencialment usant propietats de les sumes parcials, en lloc de prendre propietats de la suma global, la qual no existix. Usant el método de Euler–Maclaurin junt en la regla de correcció que fa us dels números de Bernoulli, s'obté:

$\begin{array}{cc}& \frac{f\left(0\right)}{2}+f\left(1\right)+\cdots +f(n-1)+\frac{f\left(n\right)}{2}=\\ & \frac{f\left(0\right)+f\left(n\right)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)=\sum _{k=0}^{n}f\left(k\right)-\frac{f\left(0\right)+f\left(n\right)}{2}=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=1}^p\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0))+R\end{array}$

Ramanujan va reescriure este per a distints llímits de l'integral i del sumatorio corresponent, en el cas en el qual p tendix a infinit:

$\sum _{k=a}^{x}f(k)=C+\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt+\frac{1}{2}f(x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(x)$

a on C és una constant específica de la série a tractar. La seua continuació analítica i els llímits de l'integral no varen ser especificats per Ramanujan, pero se supon que són els mencionats dalt. Comparant abdós fòrmules i assumint que R tendix a 0 i x tendix a infinit, es pot vore que, en un cas general, para funciones f(x) que no divergixen en x = 0:

$C(a)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t)dt-\frac{1}{2}f(0)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(0)$

a on Ramanujan va assumir que a = 0. Prenent $a=\mathrm{\infty }$, normalment es pot recuperar la suma usual per a séries convergents, aixina que C(0) va ser proposta per al seu us en la suma de la seqüència divergent.

Suma de séries divergents

Usant extensions estàndar per a séries divergents conegudes, Ramanujan va calcular la «suma» d'estes. En particular, la suma 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n +· · · és

$1+2+3+\cdots =-\frac{1}{12}(\mathrm{\Re })$

a on la notació $(\mathrm{\Re })$ indica que és un sumatorio de Ramanujan. Esta expressió apareix originàriament en un dels quaderns de Ramanujan, sense cap tipo d'anotació que indicara que esta es tractava d'un sumatorio de Ramanujan.

Per a potències pares positives, s'obté:

$1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0(\mathrm{\Re })$

i per a potències impars positives, s'obté esta expressió, relacionada en els números de Bernoulli:

$1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-\frac{B_{2k}}{2k}(\mathrm{\Re }).$

En essència, tots estos resultats són valors de la funció zeta de Riemann per a valors negatius de la mateixa, o siga:

$\zeta (-2k)=1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0(\mathrm{\Re })$

$\zeta (-(2k-1))=1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-\frac{B_{2k}}{2k}(\mathrm{\Re }).$

Vore també

• Sumación de Cesàro
• Sumación de Borel
• Sumixca de Ramanujan
• Série divergent