Série alternada

En matemàtiques, una série alternada és una série infinita del tipo

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

en a_n > 0. Una suma finita d'este tipo és una suma alternada.

Condicions de convergència

Una condició suficient per a que la série alternada convergixca és que siga absolutament convergent. Pero la mateixa no és una condició necessària, ya que existixen séries que no la satisfan i aixina i tot són convergents. Per eixemple, la série harmònica

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1},$

divergix, mentres que la seua versió alternada

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}$

convergix al logaritmo natural de 2.

Un test més ampli de convergència d'una série alternada és el test de Leibniz: si la successió $a_n$ és monòtona decreixent i tendix a zero, llavors la série

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

convergix.

Es pot utilisar la suma parcial

$s_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k$

per a aproximar la suma d'una série alternada convergent. Si $a_n$ és monòtona decreixent i tendix a zero, llavors l'error en esta aproximació resulta ser menor que $a_{n+1}$.

Convergència condicional

Una série condicionalmente convergent és una série infinita que convergix, pero no convergix absolutament. El següent resultat anti intuïtiu és verdader: si la série real

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

convergix condicionalment, llavors per a tot número real $\beta$ existix un reordenamiento $\sigma$ de la série tal que

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{\sigma (n)}{a}_{\sigma (n)}=\beta .$

Com un eixemple d'açò, considerem la serie precedent per al logaritmo natural de 2:

$\ln 2=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots .$

Una forma possible de reordenar la série és (els paréntesis en el primer rengló estan únicament per a millorar la comprensió):

$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12}+(\frac{1}{7}-\frac{1}{14})-\frac{1}{16}+\cdots$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\cdots$

$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots )$

$=\frac{1}{2}\ln 2.$

Una demostració d'este postulat es basa que l'algoritme voraç para σ és correcte.

Vore també

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·