Teoria conforme de camps

Una teoria conforme de camps (CFT en anglés) és una teoria quàntica de camps (o un model de mecànica estadística en el punt crític) que és invariante baixe les transformacions conformes. Normalment s'estudia la teoria conforme de camps en dos dimensióés a on hi ha un grup d'infinites dimensions de transformacions conformes locals, descrit per les funcions holomórficas. La teoria conforme de camps té importants aplicacions en la teoria de cordes, en la mecànica estadística, i en la física de la matèria condensada.

Invariancia d'escala vs invariancia conforme

A pesar de que és possible per a una teoria quàntica de camps ser d'escala invariante pero no d'invariancia conforme, és molt difícil trobar eixemples. Per esta raó, les condicions s'intercanvien freqüentment en el context d'una teoria quàntica de camps, inclús quan la simetria conforme és molt major.

En alguns casos particulars és possible provar que la invariancia d'escala implica invariancia conforme en una teoria quàntica de camps, per eixemple en les teories de camps unitàries compactes de dos dimensions.

Teoria conforme de camps de dos dimensions

Hi ha dos versions de les CFT en 2D: 1) Euclidea, i 2) de Lorentz. La primera s'aplica a mecànica estadística, i la segona a la teoria quàntica de camps. Abdós versions estan relacionades per una rotació de Wick.

Les CFTs de dos dimensions són (en cert modo) invariantes baixe un grup de simetria d'infinites dimensions. Per eixemple, considere's una CFT en l'esfera de Riemann. Té les transformacions de Möbius com el grup conforme, el qual és isomòrfic per a la (la dimensió finita) PSL(2,C). No obstant, les transformacions conformes infinitesimals formen un àlgebra d'infinites dimensions, que es diu àlgebra de Witt i solament els camps primaris (o camps quirales) són invariantes respecte al grup complet infinitesimal conforme.

En la majoria de les teories conforme de camps, sorgix una anomalia conforme, també coneguda com anomalia de Weyl en la teoria quàntica. Este resulta aparentment d'una càrrega central no trivial, i l'àlgebra de Witt es modifica per a ser àlgebra de Virasoro.

En la CFT euclídea, tenim una còpia holomórfica i antiholomórfica de l'àlgebra de Virasoro. En la CFT de Lorentz, tenim una còpia de l'àlgebra de Virasoro que es mou a esquerres i una atra que es mou a dretes (l'espai-temps és un cilindre, sent l'espai un círcul i el temps una llínea).

Esta simetria fa possible classificar CFTs de dos dimentiones de forma més precisa que en més dimensions. En particular, és possible relacionar l'espectre dels operadors primaris en una teoria al valor de la càrrega central, c. l'espai de Hilbert d'estats físics és un mòdul unitari de l'àlgebra de Virasoro que correspon a un valor fix de c. L'estabilitat requerix que l'energia de l'espectre Hamiltoniano no siga negatiu. Els mòduls d'interés són els mòduls més pesats de l'àlgebra de Virasoro.

Un camp quiral és un camp holomórfico W(z) que es transforma com

$L_{n}W(z)=-z^{n+1}\frac{\partial }{\partial z}W(z)-(n+1)\Delta z^{n}W(z)$

i

${\overline{L}}_{n}W(z)=0.$

Similar per a un camp antiquiral. Δ és el pes conforme del camp quiral W.

Més allà, Alexander Zamolodchikov va demostrar que existix una funció, C, la qual decreix de forma monòtona en el fluix de grup de renormalización d'una teoria quàntica de dos dimensions, i és igual a la càrrega central d'una teoria de camps conforme de dos dimensions. A açò se li coneix com el Zamolodchikov teorema C, i nos diu que el fluix de grup de renormalización en una teoria de dos dimensions és irreversible.

Habitualment, no nos interessem pels operadors, sino que estem interessats en l'estat de buit, o en la mecànica estadística, l'estat tèrmic. A menos que c=0, no pot haver un estat que deixe sense trencar tota la simetria conforme d'infinites dimensions. A lo millor que podem aplegar en un estat que és invariante baix $L_{-1}$, L₀, L₁, L_i, $i>1$. Ací es conté el subgrup Möbius. El restant del grup conforme es trenca espontàneament.

Vore també

• Teoria conforme de camps logarítmica
• Correspondència AdS/CFT
• Operator product expansion
• Àlgebra de Witt
• Àlgebra vertex
• Model WZW
• Punt crític (termodinàmica)
• camp primari
• Àlgebra superconforme
• Àlgebra conforme

Referències

• Martin Schottenloher, A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory, Springer-Verlag, Berlín Heidelberg, 1997. ISBN 3-540-61753-1, 2nd edition 2008, ISBN 978-3-540-68625-5
• Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory. Plantilla:ArXiv.
• P. Vaig donar Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-94785-X
• A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.B. Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quàntum field theory, Nucl. Phys. B241 (1984) 333–380.
• A.B Zamolodchikov, Irreversibility Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory, JETP Lett.43:730–732,1986 [1] [2] archivat en Wayback Machine. (en rus)