Àlgebra superconforme

En física teòrica, el àlgebra superconforme és un àlgebra de Lie graduada o superálgebra que combina l'àlgebra conforme i la supersimetría. En dos dimensions, l'àlgebra superconforme és infinit-dimensional. En dimensions més altes, les àlgebra superconformes són finito-dimensionals i generen el grup superconforme (en dos dimensions euclidianas, la superálgebra de Lie no genera qualsevol supergrupo de Lie).

Àlgebra Superconforme en dimensió major que 2

El grup conforme de l'espai $(p+q)$-dimensional ${ℝ}^{p,q}$és $SO(p+1,q+1)$ i la seua àlgebra de Lie és $𝔰𝔬(p+1,q+1)$. L'àlgebra superconforme és un superálgebra de Lie que conté el factor bosónico $𝔰𝔬(p+1,q+1)$i els generadors impars del qual es transformen baix representacions espinoriales de $𝔰𝔬(p+1,q+1)$. Donada la classificació d'Kač dels superálgebras de Lie simples de dimensió finita, açò solament pot succeir per a valors menuts de $p$i $q$. Una llista (possiblement incompleta és

• ${𝔬𝔰𝔭}^{*}(2N|2,2)$en 3+0D (dimensions) gràcies a que $𝔲𝔰𝔭(2,2)\simeq 𝔰𝔬(4,1)$$𝔲𝔰𝔭(2,2)\simeq 𝔰𝔬(4,1)$;
• $𝔬𝔰𝔭(N|4)$en 2+1D gràcies a que $𝔰𝔭(4,ℝ)\simeq 𝔰𝔬(3,2)$;
• ${𝔰𝔲}^{*}(2N|4)$en 4+0D gràcies a que ${𝔰𝔲}^{*}(4)\simeq 𝔰𝔬(5,1)$;
• $𝔰𝔲(2,2|N)$en 3+1D gràcies a que $𝔰𝔲(2,2)\simeq 𝔰𝔬(4,2)$;
• $𝔰𝔩(4|N)$en 2+2D gràcies a que $𝔰𝔩(4,ℝ)\simeq 𝔰𝔬(3,3)$;
• formes reals de $F(4)$en 5 dimensions;
• $𝔬𝔰𝔭(8^{*}|2N)$en 5+1D gràcies al fet de que les representacions espinorial i fonamental de $𝔰𝔬(8,ℂ)$es poden mapear per mig d'automorfismes exteriors.

Àlgebra superconforme en 3+1D

D'acort en l'àlgebra superconforme en $𝒩$supersimetrías en 3+1 dimensions està donat pels generadors bosónicos $P_{\mu }$, $D$, $M_{\mu \nu }$, $K_{\mu }$la R-simetria O(1) $A$, la R-simetria SU(N) $T_j^i$i els generadors fermiónicos $Q^{\alpha i}$, ${\bar{Q}}_i^{\dot{\alpha }}$, $S_i^{\alpha }$i ${\bar{S}}^{\dot{\alpha }i}$. Ací, $\mu ,\nu ,\rho ,\dots$denoten índexs espaciotemporales; $\alpha ,\beta ,\dots$índexs espinorales de Weyl esquerres; $\dot{\alpha },\dot{\beta },\dots$índexs espinorales de Weyl drets; i $i,j,\dots$ els índexs de la R-simetria interna.

Els supercorchetes de Lie del àlgebra conforme bosnico estan donats per

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]={\eta }_{\nu \rho }{M}_{\mu \sigma }-{\eta }_{\mu \rho }{M}_{\nu \sigma }+{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\rho \mu }-{\eta }_{\mu \sigma }{M}_{\rho \nu }$

$[M_{\mu \nu },P_{\rho }]={\eta }_{\nu \rho }{P}_{\mu }-{\eta }_{\mu \rho }{P}_{\nu }$

$[M_{\mu \nu },K_{\rho }]={\eta }_{\nu \rho }{K}_{\mu }-{\eta }_{\mu \rho }{K}_{\nu }$

$[M_{\mu \nu },D]=0$

$[D,P_{\rho }]=-P_{\rho }$

$[D,K_{\rho }]=+K_{\rho }$

$[P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2{\eta }_{\mu \nu }D$

$[K_n,K_m]=0$

$[P_n,P_m]=0$

On η és la métrica de Minkowski; mentres que els de els generadors fermiónicos són:

$\{Q_{\alpha i},{\bar{Q}}_{\dot{\beta }}^j\}=2{\delta }_i^j{\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^{\mu }{P}_{\mu }$

$\{Q,Q\}=\{\bar{Q},\bar{Q}\}=0$

$\{S_{\alpha }^i,{\bar{S}}_{\dot{\beta }j}\}=2{\delta }_j^i{\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^{\mu }{K}_{\mu }$

$\{S,S\}=\{\bar{S},\bar{S}\}=0$

$\{Q,S\}=$

$\{Q,\bar{S}\}=\{\bar{Q},S\}=0$

Els generadors conformes bosonicos no porten R-carregues, ya que commuten en els generadors de la R-simetria:

$[A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0$

$[T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0$

Pero els generadors fermionicos si porten R-carrega:

$[A,Q]=-\frac{1}{2}Q$

$[A,\bar{Q}]=\frac{1}{2}\bar{Q}$

$[A,S]=\frac{1}{2}S$

$[A,\bar{S}]=-\frac{1}{2}\bar{S}$

$[T_j^i,Q_k]=-{\delta }_k^i{Q}_j$

$[T_j^i,{\bar{Q}}^k]={\delta }_j^k{\bar{Q}}^i$

$[T_j^i,S^k]={\delta }_j^k{S}^i$

$[T_j^i,{\bar{S}}_k]=-{\delta }_k^i{\bar{S}}_j$

Baixe transformacions conformes bosonicas, els generadors fermionicos es transformen com:

$[D,Q]=-\frac{1}{2}Q$

$[D,\bar{Q}]=-\frac{1}{2}\bar{Q}$

$[D,S]=\frac{1}{2}S$

$[D,\bar{S}]=\frac{1}{2}\bar{S}$

$[P,Q]=[P,\bar{Q}]=0$

$[K,S]=[K,\bar{S}]=0$

Vore també

• Simetria conforme
• Àlgebra super Virasoro
• Àlgebra de supersimetría