Transformació de Möbius

En geometria, una transformació de Möbius és una funció de la forma:

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

a on z, a, b, c, d són número complex que verifiquen que ad − bc ≠ 0.

Una transformació de Möbius pot vore's en el pla complex com la composició d'una proyecció estereográfica del pla sobre l'esfera, seguida d'una rotació o desplaçament de l'esfera a una nova localisació i finalment una proyecció estereográfica, esta volta de l'esfera al pla.

Com vorem més avall, serà més natural considerar directament les transformacions de Möbius com a transformacions de l'esfera de Riemann (i.i. del pla complex aumentat en un punt en l'infinit $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$).

Les transformacions de Möbius reben el seu nom en honor a August Ferdinand Möbius, encara que també es nomenen com a transformacions especials conformes, transformacions racionals llineals o transformacions homográficas.

El grup de les transformacions de Möbius

Una transformació de Möbius pot estendre's de modo natural a un biholomorfisme (o siga, una aplicació conforme i biyectiva) de l'esfera de Riemann. Per a que dita transformació quede definida en tota l'esfera de Riemann, seguirem els següents convenis en el punt de l'infinit:

• -d/c s'aplicarà en $\mathrm{\infty }$,
• $\mathrm{\infty }$ s'aplicarà en a/c.

El conjunt d'estes transformacions definides sobre l'esfera de Riemann forma un grup baix la composició de funcions anomenat el grup de Möbius.

Este grup, a la seua volta, pot dotar-se en l'estructura de varietat complexa de modo que la composició i l'inversió siguen aplicacions holomorfas. Dit d'un atre modo: el grup de Möbius es convertix aixina en un grup de Lie complex.

Referències

• W. Rudin, Anàlisis real i complex, McGraw-Hill, Madrit, 1988, ISBN 84-7615-192-6.