Àlgebra de Virasoro

El àlgebra de Virasoro és una forma d'àlgebra de Lie complexa, donada com a extensió central del camp vectorial dels polinomis complexos sobre la circumferència unitària; esta àlgebra pren el seu nom del físic argentí Miguel Ángel Virasoro (1940-2021).

Les àlgebra de Virasoro han segut àmpliament usades en teoria de cordes.

Definició

L'àlgebra de Virasoro és una cobertura llineal dels elements:

$L_i$ per a $i\in 𝐙$,

en:

etc, que són tots elements reals. Cada u és un element central, una càrrega central. L'àlgebra de Virasoro satisfà les següents dos propietats:

en:

1. El factor 1/12 és degut exclusivament a una qüestió de convenció.
2. El símbol ${\delta }_{m+n}=0$ si $m+n\ne 0$ i ${\delta }_{m+n}=1$ si $m+n=0$;

s'observa llavors que la relació:

pot ser expressada en térmens del símbol de Kronecker ${\delta }_{m+n,0}$:

Extensió de l'explicació

El àlgebra de Virasoro és desenrollada pels elements

i l'element c. Llavors es té que

i c són elements reals. c és l'element central i li'l denomina càrrega central. L'àlgebra definida a través de commutadors satisfà:

a on el factor $1/12$ és una convenció. L'àlgebra de Virasoro és l'extensió central del Àlgebra de Witt de camps vectorials polinòmics complexos en el círcul.

El tensor d'energia-moment de la teoria de cordes obedix l'àlgebra de Virasoro, ya que comprén els generadors del grup conforme de la full d'univers. Més precisament, obedix les relacions de conmutación de dos còpies de l'àlgebra de Virasoro. Açò es deu a que el grup conforme es descompon en difeomorfismos separats del con de llum futur i passat. La invariancia davant difeomorfismos de la full d'univers implica adicionalment que el tensor d'energia moment es fa nul. Açò es coneix com la "condició de Virasoro" o "restricció de Virasoro", i en la versió quàntica de la teoria, esta restricció solament pot aplicar-se als estats físics de la teoria (concorde a la quantificació Gupta-Bleuler).

Vore també

• Àlgebra de Lie
• Super àlgebra de Lie
• Teoria de les cordes
• Teorema no-fantasma (No-ghost theorem) o Teorema Goddard–Thorn

Notes i referències

Bibliografia

• Aleksandr Belavin, Aleksandr Poliakov and Aleksandr Zamolóchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quàntum field theory, Nucl. Phys. B241 (1984) 333–380.
• R.E. Block, On the Mills–Seligman axioms for Lie algebras of classical type Trans. Amer. Math. Soc., 121 (1966) pp. 378–392
• R. C. Brower, C. B. Thorn, Eliminating spurious states from the dual resonance model. Nucl. Phys. B31 163-182 (1971).
• E. Cartan, Els groupes de transformations continus, infinis, simples. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 26, 93-161 (1909).
• B.L. Feigin, D.B. Fuks, Verma modules over the Virasoro algebra L.D. Faddeev (ed.) A.A. Mal'tsev (ed.), Topology. Proc. Internat. Topol. Conf. Leningrad 1982, Lect. notes in math., 1060, Springer (1984) pp. 230–245
• Friedan, D., Qiu, Z. and Shenker, S.: Conformal invariance, unitarity and critical exponents in two dimensions, Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 1575-1578.
• I.M. Gel'fand, D.B. Fuks, The cohomology of the Lie algebra of vector fields in a circle Funct. Anal. Appl., 2 (1968) pp. 342–343 Funkts. Anal. i Prilozh., 2: 4 (1968) pp. 92–93

• P. Goddard, A. Kent and D. Olive Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras Comm. Math. Phys. 103, no. 1 (1986), 105–119.
• A. Kent, "Singular vectors of the Virasoro algebra", Physics Letters B, Volume 273, Issues 1-2, 12 December 1991, Pages 56-62.
• Plantilla:Springer
• V.G. Kac, Highest weight representations of infinite dimensional Lie algebras, Proc. Internat. Congress Mathematicians (Helsinki, 1978),
• V.G. Kac, A.K. Raina, Bombay lectures on highest weight representations, World Sci. (1987) ISBN 9971503956.
• V.K. Dobrev, Multiplet classification of the indecomposable highest weight modules over the Neveu-Schwarz and Ramond superalgebras, Lett. Math. Phys. {�f 11} (1986) 225-234 & correction: ibid. {�f 13} (1987) 260.
• I.M. Krichever, S.P. Novikov, Algebras of Virasoro type, Riemann surfaces and structures of the theory of solitons, Funkts. Anal. Appl., 21:2 (1987) p. 46–63.
• V.K. Dobrev, Characters of the irreducible highest weight modules over the Virasoro and super-Virasoro algebras, Suppl. Rendiconti Circolo Matematici vaig donar Palermo, Série II, número 14 (1987) 25-42.
• M. Schlichenmaier, Differential operator algebras on compact Riemann surfaces H.-D. Doebner (ed.) V.K. Dobrev (ed.) A.G Ushveridze (ed.), Generalized Symmetries in Physics, Clausthal 1993, World Sci. (1994) p. 425–435
• M. A. Virasoro, Subsidiary conditions and ghosts in dual-resonance models Phys. Rev., D1 (1970) pp. 2933–2936
• A. J. Wassermann, Lecture notes on Kac-Moody and Virasoro algebras