Fòrmula de Perron

En matemàtica, i més precisament en teoria analítica de números, la fòrmula de Perron és una fòrmula donada per Oskar Perron per a calcular la suma d'una funció aritmètica, per mig de l'us d'una transformada de Mellin inversa.

Enunciat

Siga $\{a(n)\}$ una funció aritmètica, i siga

$g(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}$

el seu corresponent série de Dirichlet. Presumixca la série de Dirichlet de ser absolutament convergent para $\mathrm{\Re }(s)>{\sigma }_a$. Llavors la fòrmula de Perron és

$A(x)={\sum _{n\le x}}^{\star }a(n)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}g(z)\frac{x^z}{z}dz.$

Ací, l'estrela sobre el sumatorio indica que l'últim terme de la suma deu ser multiplicat per 1/2 quan x siga un sancer. La fòrmula requerix que $c>{\sigma }_a$ i $x>0$ real, pero d'una atra manera arbitrària.

Demostració

Un senzill esbós de demostració prové de prendre la fòrmula de sumación d'Abel

$g(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}=s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(x)x^{-(s+1)}dx.$

Açò no és sino una transformada de Laplace baixe el canvi de variable $x=e^t.$ Invertint-ho s'obté la fòrmula de Perron.

Referències

• Plantilla:Mathworld
• Tenebaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521412617.