Derivada logarítmica

En l'àmbit de les matemàtiques, específicament en el càlcul i l'anàlisis complex, la derivada logarítmica d'una funció f queda definida per la fòrmula

$\frac{f^{\prime }}{f}$

a on f ′ és la derivada de f.

Els seus descobridors varen ser Leibniz i Newton.

Quan f és una funció f(x) d'una variable real x, i pren valors reals, estrictament positius, esta és llavors la fòrmula per a (log f)′, o siga, la derivada del logaritmo natural de f, com es deduïx aplicant directament la regla de la cadena.

Propietats bàsiques

Moltes propietats del logaritmo real també són vàlides per a la derivada logarítmica, aun cuando la funció no pren valors de reals positius. Per eixemple, ya que el logaritmo d'un producte és la suma dels logaritmos dels factors, es té que

$(\log uv{)}^{\prime }=(\log u+\log v{)}^{\prime }=(\log u{)}^{\prime }+(\log v{)}^{\prime }.$

Per lo que per a funcions reals positives, la derivada logarítmica d'un producte és la suma de la derivada logarítmica dels factors. També és possible aplicar la regla de Leibniz per a la derivada del producte i aixina obtindre $\frac{(uv{)}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }v+u{v}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }}{u}+\frac{v^{\prime }}{v}.$ Per lo tant, és cert que para tota funció que la derivada logarítmica d'un producte és la suma de les derivades logarítmiques dels factors (quan les mateixes estan definides).

En forma similar (de fet és una conseqüència), la derivada logarítmica de la funció recíproca d'una funció és el negat de la derivada logarítmica de la funció:

$\frac{(1/u{)}^{\prime }}{1/u}=\frac{-u^{\prime }/u^2}{1/u}=-\frac{u^{\prime }}{u},$

en la mateixa forma que el logaritmo de la recíproca d'un número real positiu és la negació del logaritmo del número.

En forma general, la derivada logarítmica d'un cocient és la diferència de les derivades logarítmiques del divident i del divisor:

$\frac{(u/v{)}^{\prime }}{u/v}=\frac{(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2}{u/v}=\frac{u^{\prime }}{u}-\frac{v^{\prime }}{v},$

en la mateixa forma que el logaritmo d'un cocient és la diferència dels logaritmos del divident i del divisor.

Sobre la derivada logarítmica d'una potència (en exponent real constant), la mateixa és el producte de l'exponent i de la derivada logarímica de la base:

$\frac{(u^k{)}^{\prime }}{u^k}=\frac{k{u}^{k-1}{u}^{\prime }}{u^k}=k\frac{u^{\prime }}{u},$

en forma anàloga a que el logaritmo d'una potència és el producte entre l'exponent i el logaritmo de la base de qualsevol número que puga existir.

En resum, tant les derivades com els logaritmos posseïxen una regla del producte, una regla recíproca, una regla del cocient, i una regla de la potència (comparar en la llista d'identitats logarítmiques); cada parell de regles es troben relacionades per mig de la derivada logarítmica.

Càlcul de derivades ordinàries utilisant derivades logarítmiques

Les derivades logarítmiques poden ajudar a simplificar el càlcul de derivades que requerixen la regla del producte. El procediment és el següent: Supongam que ƒ(x) = o(x)v(x) i que es desija calcular ƒ'(x). En lloc de realisar el càlcul en forma directa, calculem la seua derivada logarítmica. O siga, es calcula:

$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{u^{\prime }}{u}+\frac{v^{\prime }}{v}.$

Multiplicant per ƒ es calcula ƒ':

$f^{\prime }=f(\frac{u^{\prime }}{u}+\frac{v^{\prime }}{v}).$

Esta tècnica és especialment útil quan ƒ és el producte d'una gran cantitat de factors. La tècnica descrita fa possible calcular ƒ' per mig del càlcul de la derivada logarítmica de cada factor, sumant, i multiplicant per ƒ.