Principi de superposició

El principi de superposició o teorema de superposició és una ferramenta matemàtica que permet descompondre un problema llineal o d'un atre tipo en dos o més subproblemas més senzills, de tal manera que el problema original s'obté com "superposició" o "suma" d'estos subproblemas més senzills.

Tècnicament, el principi de superposició afirma que quan les equacions de comportament que rigen un problema físic són llineals, llavors el resultat d'una mida o la solució d'un problema pràctic relacionat en una magnitut extensiva associada al fenomen, quan estan presents els conjunts de factors causants A i B, pot obtindre's com la suma dels efectes de més els efectes de B.

Propietats a complir

Artícul principal → Aplicació llineal.

En matemàtiques una funció llineal és aquella que satisfà les següents propietats:

• Aditividad: $f(x+y)=f(x)+f(y)$

Archiu:Señales individuales en un sistema lineal2. caps block 13 Archiu:Suma de 2 señales. caps block 14

Homogeneïtat/Proporcionalitat: $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ Si

Qualsevol sistema físic, model científic o problema matemàtic caracterisat per funcions llineals que satisfan les condicions anteriors és susceptible de ser tractat parcialment per mig del principi de superposició.

Eixemples

Teorema de superposició en electrònica

Artícul principal → Teorema de superposició.

En el teorema de superposició en teoria de circuits s'establix que la tensió entre dos nodos d'un circuit o la corrent que travessa una branca és igual a la suma de les tensions o de les corrents produïdes per cada u dels generadors de tensió i dels generadors de corrent del circuit. En cada u dels càlculs parcials, es conserva un solament dels generadors i es remplazan els atres generadors de tensió per curtcircuits i els atres generadors de corrent per circuits oberts.

Campos de forces en mecànica newtoniana

En mecànica newtoniana el laplaciano del camp gravitatorio és proporcional a la densitat de massa; això fa que l'igualtat de distribució i a distàncies idèntiques el camp siga proporcional a la densitat de massa (no obstant, en teoria de la relativitat general, el camp gravitatorio ve descrit en térmens d'equacions diferencials no llineals).

Un atre eixemple ho constituïxen els camps electrostàtic i magnetostático, que tant en mecànica clàssica com en teoria de la relativitat resulten llineals; és dir, el potencial elèctric i el potencial vector, fixada una distribució de càrregues, és proporcional al valor d'estes.

Problemes en mecànica de sòlits

Les equacions d'equilibri d'un sòlit resistent que relacionen les forces exteriors sobre un sòlit en les tensions internes són llineals; això significa que per a qualsevol sòlit que no plastifique, si es duplica el valor de les forces es duplicarà el valor de les tensions.

Això succeïx en independència de l'equació constitutiva del material, siga este o no elàstic, sempre i quan l'estat final no depenga del modo d'aplicació de les càrregues. En problemes de plasticidad esta condició no es complix en general, ya que l'estat final depén de la "trayectòria" que seguixca l'estat tensional; és dir, del modo, orde i velocitat en la que s'apliquen les càrregues.

Problemes en teoria de l'elasticitat llineal

Per a un ampli ranc de tensions i deformacions, en els materials elàstics la tensió és proporcional a la deformació (és dir, que les components dels tensors de deformació i tensió estan relacionades linealmente).

Si, ademés, les forces sobre els cossos són moderades i les deformacions resulten chicotetes (de l'orde del 10⁻² o 10⁻³), que és el ranc de "deformacions infinitesimals", llavors els desplaçaments dels punts del sòlit resulten, salve per un moviment de sòlit rígit, casi-proporcionals a les deformacions. Este últim fet s'usa comunament en la resolució de problemes pràctics en ingenieria, a on s'usa molt extensivamente el principi de superposició en térmens de forces i desplaçaments.

Referències

Bibliografia

• The Penguin Dictionary of Physics, ed. Valerie Illingworth, 1991, Penguin Books, Londres.
• Haberman, Richard (2004). Applied Partial Differential Equations, Prentice Hall. ISBN 0-13-065243-1.
• Superposition of sound waves [1] archivat en Wayback Machine.