Equació constitutiva

Una equació constitutiva és una relació entre les variables termodinàmiques o mecàniques d'un sistema físic: pressió, volum, tensió, deformació, temperatura, densitat, entropía, etcétera. Cada material o substància té una equació constitutiva específica, dita relació solament depén de l'organisació molecular interna.

En mecànica de sòlits i en ingenieria estructural, les equacions constitutives són igualtats que relacionen el camp de tensions en la deformació, usualment dites equacions relacionen components dels tensors tensió, deformació i velocitat de deformació. Per a un material elàstic llineal l'equació constitutiva es diuen equacions de Lamé-Hooke o més simplement llei de Hooke.

També més generalment en física s'usa el terme equació constitutiva per a qualsevol relació entre magnituts tensoriales, que no és derivable de lleis de conservació o un atre tipo de lleis universals i que són específiques del tipo de problema estudiat.

Eixemples

Mijos continus i termodinàmica

La primera equació constitutiva (llei constitutiva) va ser desenrollada per Robert Hooke i actualment es coneix com llei de Hooke. Esta equació tracta el cas d'elasticitat llineal. Seguint a este treball, s'han usat freqüentment els térmens "relació tensió-deformació", "assunció constitutiva" o "equació d'estat". Walter Noll va desenrollar un important treball sobre equacions constitutives, clarificant la seua classificació i el paper dels requisits d'invariancia, restriccions i definicions de térmens com "material", "isótropo", "alotrópico", etc. La classe d'equacions constitutives de la forma "derivada temporal de la tensió = f (gradient de velocitat, tensió, densitat)" va ser l'objecte de la tesis doctoral de Walter Noll de 1954 baixe la direcció de Clifford Truesdell.^[1] Alguns eixemples d'equacions constitutives usables en el camp dels mijos continus i la termodinàmica són:

Sòlit Elàstic llineal (Llei de Hooke)^[2]

σ = E ε [\Rightarrow F = - k x]

(cas unidimensional)

σ_{i j} = \sum_{k, l} C_{i j k l} ε_{k l}

(cas general)

Sòlit Elàstic isótropo no llineal (Teorema de Rivlin-Ericksen)^[2]

σ_{i j} = α (ι_{ε}) δ_{i j} + β_{i j k l} (ι_{ε}) ε_{k l} + γ_{i j k l} (ι_{ε}) \sum_{m} ε_{k m} ε_{m l}

Decorregut newtoniano

τ_{‖} = μ {(\frac{\partial u}{\partial y})}_{⊥} σ_{i j} = - p δ_{i j} + μ (\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}} - \frac{2}{3} δ_{i j} \nabla \cdot 𝐯)

Electromagnetisme

Llei de Ohm

\frac{V}{I} = R

(cas isótropo)

J_{j} = σ_{i j} E_{i}

(cas general)

Susceptibilitat elèctrica (Permitividad)

P_{j} = ε_{0} χ_{i j} E_{i}

D_{j} = ε_{i j} E_{i}

Susceptibilitat magnètica (Permeabilidad (electromagnetisme))

M_{j} = χ_{m, i j} H_{i}

B_{j} = μ_{i j} H_{i}

Fenomens de transport

Transferència de calor

q = c_{p} T

Conductivitat tèrmica

p_{j} = - k_{i j} \frac{\partial T}{\partial x_{i}}

Difusió (Llei de Fick)

J_{j} = - D_{i j} \frac{\partial C}{\partial x_{i}}

Atres eixemples

Fricció

F_{f} = F_{p} μ_{f}

Resistència aerodinàmica

D = \frac{1}{2} C_{d} ρ A v^{2}

Vore també

Referències

↑ See Truesdell's account in Truesdell The naturalization and apotheosis of Walter Noll. See also Noll's account and the classic treatise by both authors: Clifford Truesdell & Walter Noll - Stuart S. Antman (editor) (2004). «Preface», The Senar-linear Field Theories of Mechanics (Originally published as Volume III/3 of the famous Encyclopedia of Physics in 1965Originally published as Volume III/3 of the famous Encyclopedia of Physics in 1965), 3rd edició, Springer, p. xiii. ISBN 3-540-02779-3.
↑ ^2,0 ^2,1 Marsden i Hughes, 1982

Bibliografia

Marsden, Jerrold I; Hughes, {{{nom2}}} (1983). Mathematical foundations of elasticity (en anglés), Dover Publications.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación constitutiva» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Noll-1] See Truesdell's account in Truesdell The naturalization and apotheosis of Walter Noll. See also Noll's account and the classic treatise by both authors: Clifford Truesdell & Walter Noll - Stuart S. Antman (editor) (2004). «Preface», The Senar-linear Field Theories of Mechanics (Originally published as Volume III/3 of the famous Encyclopedia of Physics in 1965Originally published as Volume III/3 of the famous Encyclopedia of Physics in 1965), 3rd edició, Springer, p. xiii. ISBN 3-540-02779-3.

[Marsden-2] 2,0 ^2,1 Marsden i Hughes, 1982

[1]

[2]