Teorema de Rivlin-Ericksen

La teorema de Rivlin-Ericksen (1955) es deu fonamentalment a Ronald Rivlin i establix una llimitació important a l'equació constitutiva d'un sòlit deformable isótropo i objectiu.

Enunciat de la teorema

La teorema afirma que si $𝐂$ és el tensor de resposta que relaciona el tensor gradient de deformació F en el tensor tensió T d'un material objectiu i isótropo, el tensor del qual gradient de deformació és F llavors el seu tensor tensió ve dau per:

A on:

$\overline{𝐂}:{𝐒}_{>\mathrm{𝟑}}\mathbf{\subset }{𝐌}_{\mathrm{𝟑}}\to {𝐒}_{\mathrm{𝟑}}\subset {𝐌}_{\mathrm{𝟑}}$

$\overline{𝐂}(E)={\beta }_0({\iota }_E)I+{\beta }_1({\iota }_E)E+{\beta }_2({\iota }_E)E^2$

${𝐌}_{\mathrm{𝟑}}$, conjunt de matrius de 3×3.
${𝐒}_{\mathrm{𝟑}}$, conjunt de matrius 3×3 simètriques.
${𝐒}_{>\mathrm{𝟑}}$, conjunt de matrius 3×3 simètriques definides positives.
${\iota }_E$, conjunt d'invariantes algebraics (traça, invariante quadràtic i determinant), de la matriu I.

Tenint en conte que la relació entre el tensor gradient de deformació F, el tensor de Finger B = FF^T i el tensor deformació espacial (de Almansi) D_i és simplement:

A on I és la matriu identitat, pot vore's com és la forma més general possible de tensor resposta o equació constitutiva d'un material isótropo:

Sòlits elàstics llineals i isótropo

Per al cas de sòlits elàstics llineals es pot demostrar rigorosament a partir de la teorema de Rivlin-Ericksen que el tensor tensió T i el tensor deformació D estan relacionats per:

A on λ i μ reben els noms de primer i segon coeficients de Lamé, i són constants elàstiques específiques de cada material. És dir, un sòlit elàstic llineal té:

Esta llei constitutiva és funcionalmente idèntica a la d'un material de Saint-Venant–Kirchhoff.