Invariante algebraic (àlgebra llineal)

Un invariante algebraic és una funció polinòmica dels components de la matriu d'una aplicació llineal, no depén de la base vectorial triada per a representar l'aplicació llineal en forma de matriu. En atres paraules, un invariante algebraic és una certa combinació dels components d'una matriu el valor numèric de la qual no queda alterat en fer un canvi de base, i d'ahí el nom de invariante.

Introducció

Donat un endomorfisme o aplicació llineal d'un espai vectorial en sí mateixa (és dir, un endomorfisme), dita aplicació es pot representar com en un conjunt de números fixada una base vectorial. No obstant, la mateixa aplicació s'expressa per diferents components en diferents bases, ya que els components no són intrínseques a l'aplicació llineal. Afortunadament, existixen algunes combinacions en forma de sumes i productes dels components que són iguals en totes les bases. Estes combinacions són precisament els invariantes algebraics. Per eixemple, és un fet ben conegut que si ${𝐀}_f$ i ${𝐁}_f$ és la matriu de components d'una aplicació llineal $f$ expressada en certa base i $𝐂$ és una matriu invertible que representa un canvi de base, llavors:

És dir, el determinant és una combinació de components de les matrius de components que resulta independent de la base i per tant és un invariante algebraic. Els invariantes algebraics més comuns són:

• Determinant d'una matriu
• Traça d'una matriu
• Invariante quadràtic

Una aplicació llineal representable per una matriu quadrada $n\times n$ admet a lo manco $n$ invariantes algebraics. Més encara qualsevol funció polinòmica d'estos invariantes és un nou invariante algebraic funcionalment independent dels anteriors.

Invariantes bàsics d'una matriu

Donada una aplicació llineal $F:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$, i fixada una base vectorial $ℬ$ es definix el polinomi característic de dita de l'aplicació en dita base simplement com:

Este polinomi serà un polinomi mónico de grau n en la variable ${\lambda }^n$. Pot demostrar-se de forma prou senzilla que dit polinomi no depén de la base vectorial triada. És dir, donada una atra base vectorial $𝒱$ es té que:

Això implica que cada u dels coeficients $p_1,\dots ,p_n$ constituïx un invariante algebraic.

Forma explícita dels invariantes bàsics

Pot demostrar-se ademés que cada u dels $p_k$ és una polinomi de grau k en els components de la matriu que representa l'aplicació llineal. Aixina si la $F:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ es representa per la matriu $𝒜=[a_{ij}]$, el primer coeficient no trivial del polinomi característic, cridat invariante llineal o primer invariante, coincidix en la traça de la matriu, llevat signe:

El segon coeficient no trivial, cridat invariante quadràtic o segon invariante ve dau per:

El invariante n-ésimo coincidix en el determinant de la matriu llevat signe:

El invariante (n-1)-ésimo pot calcular-se a partir de la matriu d'adjunts:

El invariante k-ésimo pot expressar-se en general com un polinomi homogéneu de grau k, més concretament tenim que:

A on:

$\sigma \in S^n$, és qualsevol permutació del grup simètric d'orde n.

$ϵ(\sigma )$, és la signatura de la permutació.

$\sigma (i)$, és l'image de l'índex i baixe la permutació σ.

Matrius diagonalisables

Les fòrmules anteriors se simplifiquen notablement quan es consideren endomorfismes diagonalisables para els que és possible fixar alguna base en que la matriu que representa l'endomorfisme venja donada per:

Ya que en eixe cas es té:

Fòrmules pràctiques per al càlcul

Donada una matriu en forma no diagonal el càlcul dels invariantes algebraics bàsics pot resultar pesat especialment quan $n\ge 4$ per lo que convé tindre algunes fòrmules pràctiques:

En general el invariante n-ésimo serà una funció homogénea de grau n consistent en sumants de productes de n components de la matriu. Si be poden escriure's fòrmules directes, sempre és més pràctic o be trobar la forma de Jordan de la matriu i usar els valors propis, o expreasr el invariante n-ésimo de $𝐀$ en térmens de les potències $𝐀,{𝐀}^2\dots ,{𝐀}^n$ com en les fòrmules anteriors.

Referències

Bibliografia

• A. J. M. Spencer (1980), Continuum Mechanics. Longman.
• Q. S. Zheng (1994): "Theory of representations for tensor functions - A unified invariant approach", Appl Mech Rev 47.