Tetración

Archiu:TetrationConvergence2D.svg

Tetración

Un gràfic en color en bucles de colors lluents que creixen en intensitat a mida que l'ull es dirigix a la dreta

Coloreado del domini de la tetración definida com funció holomorfa ${}^{z}e$, en el to representant l'argument i el lluentor representant el mòdul.

En matemàtiques, la tetración (o hiper-4) és el següent hiperoperador despuix de l'exponenciación, i és definida com una exponenciación iterada. La paraula prové de tetra (quatre) i ción (iteración). La tetración és usada en la googología.

Introducció

Per a entendre la tetración cal entendre la relació jeràrquica que tenen la suma, la multiplicació i la exponenciación: les multiplicacions poden entendre's com sumar repetides, la exponenciación com a multiplicacions repetides i la tetración com exponenciaciones repetides. Totes estes operacions repetides formen una jerarquia de "hiperoperaciones" que consistixen en repetir cert número de voltes l'operació de nivell inferior. Ací es presenten eixemples dels primers quatre operadors, en la tetración com el primer hiperoperador.

1. Adició

   $a+n=a+\underset{n}{\underbrace{1+1+\mathrm{...}+1}}$

   l'unitat 1 agregada a "a" n voltes.

2. Multiplicació

   $a\times n=\underset{n}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}$

   a sumat a sí mateixa, n voltes.

3. Exponenciación

   $a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$

   a multiplicat per sí mateixa, n voltes.

4. Tetración

   ${}^{n}a=\underset{n}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}$ Falten els paréntesis en els exponents

   a exponenciado per sí mateixa, n voltes.

A on cada operació és definida per mig de la iteración de l'operació prèvia (la següent operació en la successió és la pentación). La peculiaritat de la tetración entre estes operacions és que per a les tres primeres (adició, multiplicació i exponenciación) poden ser generalisades per a valors complex de n, mentres que per a la tetración, tal generalisació regular no ha segut encara establida; la tetración no és considerada una funció elemental.

L'adició ($a+n$) és l'operació més bàsica, la multiplicació ($an$) és també una operació primària, encara que per als número natural pot ser pensada com una adició encadenada que implica n números a, i la exponenciación ($a^n$) pot ser pensada com una multiplicació encadenada que implica n números a. Análogamente, la tetración (${}^{n}a$) pot ser pensada com una potència encadenada que implica n números a. El paràmetro a pot ser cridat paràmetro base en lo següent, mentres que el paràmetro n pot cridar-se en lo següent paràmetro-altura (que és sancer en primera aproximació, pero que pot ser generalisat a altures fraccionales, reals i complexes, vore més avall).

Definició

Per a qualsevol número real positiu $a>0$ i un número entero no negatiu $n\ge 0$, es definix ${}^{n}a$ com:

${}^{n}a:=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }n=0\\ a^{\left[{}^{(n-1)}a\right]}& \text{si }n>0\end{array}$

Eixemples de potències iteradas contra bases iteradas/potenciació

Com es pot vore de la definició, en evaluar la tetración, esta és expressada com una "torre d'exponents", la potenciació es realisa en el nivell més alt primer per a que esta siga irreducible. Dit d'un atre modo:

${}^{4}2=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^4)}=2^{16}=65536$

Note's que la potenciació no és associativa, aixina que evaluar l'expressió en un atre orde proporcionarà una resposta diferent ademés d'incorrecta:

${}^{4}2=((2^2{)}^2{)}^2=(4^2{)}^2=16^2=256$

Se simplificaria a 2^(2^(4-1))=2^(2^3)=2^8=256, que és una doble exponencial.

Per lo tant, les torres exponencials deuen ser evaluades de dalt avall (o de dreta a esquerra), ya que la tetración és una funció exponencial iterada.

Vore també

• Hiperoperación
• Pentación

Referències

Bibliografia

• Daniel Geisler, tetration.org
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
• Power Tower en MathWorld.
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function [1] archivat en Wayback Machine..
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
• R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981), p. 235–252.
• Takeji Ueda. Extension of tetration to real and complex heights (2021).
• Hans Maurer. "Über die Funktion $y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33–50. (Reference to usage of ${}^{n}a$ from Knobel's paper.)
• Ripà, Marque (2011). La strana coda della serie n^n^...^n, Trento, UNI Service. ISBN 978-88-6178-789-6