Hiperoperación

Archiu:Hyperoperation 3 and n with real number.svg

Hiperoperación

En matemàtiques, es definix una successió de hiperoperaciones com una seqüència infinita d'operacions aritmètiques (cridades hiperoperaciones) que s'inicia en l'operació binaria exponenciación (n = 3), seguint en les operacions binarias de tetración (n = 4), pentación (n = 5), i hexación (n = 6), despuix de la qual cosa la successió continua en més operacions binarias, que s'estenen més allà de la potenciació, per mig de la asociatividad pel costat dret. Per a les operacions més allà de la potenciació, Reuben Goodstein va idear nomenar el n-ésimo membre d'esta successió afegint al prefix grec de n el sufix -ción (com tetración (n = 4), pentación (n = 5), hexación (n = 6), etc.) i pot ser escrit per mig de l'us de (n − 2) fleches segons la notació de fleches de Knuth.

En la notació de Knuth, cada hiperoperación pot ser entesa recursivamente en térmens de l'anterior per mig de:

$\begin{array}{ccc}a{\uparrow }^{m}b& =& \underbrace{a{\uparrow }^{m-1}(a{\uparrow }^{m-1}(a{\uparrow }^{m-1}(\mathrm{...}(a{\uparrow }^{m-1}(a{\uparrow }^{m-1}a))\mathrm{...})))}\\ & & b\text{ veces }a\end{array}$ $(m\ge 0)$

També pot definir-se d'acort a una regla de recursividad en part de l'expressió anterior, com en la versió flecha cap a dalt de Knuth de la funció de Ackermann:

$a{\uparrow }^{m}b=a{\uparrow }^{m-1}(a{\uparrow }^m(b-1))$ $(m\ge -1)$

En notació compacta, estes dos expressions prenen la forma:

$a[n]b=\underset{b\text{ veces }a}{\underbrace{a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots a[n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))}},(n\ge 2)$

i

$a[n]b=a[n-1](a[n](b-1)),(n\ge 1)$

Estes notacions poden ser usades fàcilment per a mostrar números molt més grans que els representables en la notació científica, tals com el número de Skewes i el googolplex, pero hi ha alguns números que inclús no es poden mostrar fàcilment en esta notació, tals com el número de Graham i el ÁRBOL(3).

Esta repetició de la regla és comuna a moltes variants de hiperoperaciones (vore a continuació).

Definició

La successió de hiperoperaciones $H_n(a,b):({\mathbb{N}}_0{)}^3\to {\mathbb{N}}_0$ és la successió d'operacions binarias $H_n:({\mathbb{N}}_0{)}^2\to {\mathbb{N}}_0$, que es definix recursivamente com seguix:

$H_n(a,b)=\{\begin{array}{cc}b+1& \text{si }n=0\\ a& \text{si }n=1\text{ y }b=0\\ 0& \text{si }n=2\text{ y }b=0\\ 1& \text{si }n\ge 3\text{ y }b=0\\ H_{n-1}(a,H_n(a,b-1))& \text{en cualquier otro caso}\end{array}$

Tinga's en conte que per a n = 0, l'operació binaria essencialment es reduïx a una única operació (funció successor) ignorant el primer argument.

Per a n = 0, 1, 2, 3, esta definició reproduïx les operacions bàsiques de l'aritmètica del successor (que és una única operació), adició, multiplicació i potenciació, respectivament, com

$H_0(a,b)=b+1,$

$H_1(a,b)=a+b,$

$H_2(a,b)=a\cdot b,$

$H_3(a,b)=a^b,$

per a tots els sancers no negatius $a$ i $b$.

Llavors, ¿quin serà la següent operació despuix de la potenciació? S'ha definit la multiplicació de modo que $H_2(a,3)=a*3=a+a+a,$, i es definix la potenciació de modo que $H_3(a,3)=a^3=a\cdot a\cdot a,$ per lo que sembla llògic definir la següent operació, la tetración de manera que $H_4(a,3)=\text{tetración }(a,3)=a^{a^a},$ en una torre formada per tres voltes $a$. De forma anàloga, la pentación de $(a,3)$ serà $H_5(a,3)=\text{tetración }(a,\text{tetración }(a,a))$.

Les H operacions per a n ≥ 3 poden ser escrites en la la notació flecha de Knuth com:

$H_4(a,b)=a\uparrow \uparrow b,$

$H_5(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow b,$

...

$H_n(a,b)=a{\uparrow }^{n-2}b\text{ para }n\ge 3,$

...

La notació de Knuth pot ser estesa als índexs negatius ≥ -2 de modo tal que estiga d'acort en tota la successió de hiperoperaciones, llevat pel retart en la indización:

$H_n(a,b)=a{\uparrow }^{n-2}b\text{ para }n\ge 0.$

Les hiperoperaciones per lo tant poden ser vistes com una resposta a la pregunta «¿qué és lo següent?» en la successió: successor, adició, multiplicació, potenciació, i aixina successivament. Prenent nota de que:

• $a+b=(a+(b-1))+1$
• $a\cdot b=a+(a\cdot (b-1))$
• $a^b=a\cdot (a^{(b-1)})$
• $a\uparrow \uparrow b=a^{a\uparrow \uparrow (b-1)}$

la relació entre les operacions aritmètiques bàsiques s'ilustra, permetent que la major de les operacions siga definida de forma natural, com es mostra anteriorment. Els paràmetros de la jerarquia de hiperoperaciones es referixen a voltes per l'anàlec de la potenciació; aixina, a és la base, b és el exponent (o hiperexponente), i n és el ranc (o grau). En general, $H_n(a,b)$ pot llegir-se com "la b-ésima n-ación de a", de modo que $H_4(7,9)$ es llig com "la 9.ª tetración de 7", i $H_{123}(456,789)$ es llig com "la 789.ª 123-ación de 456".

En térmens coloquials, les hiperoperaciones són maneres de compondre números que aumenten en un creiximent basat en la repetició de l'anterior hiperoperación. Els conceptes de successor, adició, multiplicació i potenciació són tots hiperoperaciones; el successor d'operació (producció de x+1 en x) és el més primitiu, l'operador especifica el número de voltes que 1 s'afig a sí mateixa per a produir un valor final, la multiplicació especifica el número de voltes que un número s'afig a sí mateixa, i la exponenciación es referix al número de voltes que un número es multiplica per sí mateixa.

Una forma alternativa d'escriure hiperoperaciones és la notació compacta $a[n]b$ per a $H_n(a,b)$. En esta notació, la exponenciación es denota $a[3]b=a^b$, la tetración es denota $a[4]b$ (de modo que $a[4]3=a^{a^a}$), la pentación es denota $a[5]b$, i aixina successivament. Les hiperoperaciones també poden expressar-se usant la notació flecha de Knuth. En esta notació, $a\uparrow b$ representa la funció de exponenciación $a^b$, $a\uparrow \uparrow b$ representa la tetración, $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ o $a{\uparrow }^{3}b$ representa la pentación $a[5]b$, i més generalment $H_n(a,b)=a{\uparrow }^{n-2}b$ per a $n\ge 0.$. Una atra alternativa és la notació de fleches encadenades de Conway. En esta notació, es té $H_n(a,b)=a[n]b=a\to b\to n-2$, de modo que (per eixemple) $a[5]b=a\to b\to 3$.

Eixemples

Esta és una llista de les primeres sèt (0 a 6) hiperoperaciones (observe's que en este artícul, es definix 0⁰ com 1).

n	Operació Hn(a, b)	Definició	Noms	Domini
0	$b+1$ o be $a[0]b$	$\underset{b\text{ copias de 1}}{\underbrace{1+1+1+\cdots +1+1+1}}+1$	hiper0, increment, successor, «ceración»	arbitrari
1	$a+b$ o be $a[1]b$	$a+\underset{b\text{ copias de 1}}{\underbrace{1+1+1+\cdots +1+1+1}}$	hiper1, adició	arbitrari
2	$a\times b$ o be $a[2]b$	$\underset{b\text{ copias de }a}{\underbrace{a+a+a+\cdots +a+a+a}}$	hiper2, multiplicació	arbitrari
3	$a^b$ o be $a[3]b$ o be $a\uparrow b$	$\underset{b\text{ copias de }a}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a\times a\times a}}$	hiper3, potenciació	b real, en algunes extensions multivaluadas a número complejo
4	${}^{b}a$ o be $a[4]b$ o be $a\uparrow \uparrow b$	$\underset{b\text{ copias de }a}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}$	hiper4, tetración	a ≥ 0 , b és un sancer ≥ −1 (En algunes extensions propostes)
5	${}_{b}a$ o be $a[5]b$ o be $a\uparrow \uparrow \uparrow b$	$\underset{b\text{ copias de }a}{\underbrace{a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))}}$	hiper5, pentación	a, b sancers ≥ −1
6	$a[6]b$ o be $a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$	$\underset{b\text{ copias de }a}{\underbrace{a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))}}$	hiper6, hexación	a, b sancers ≥ −1

Vore també

• Categoria:Grans números
• Grans números
• Jerarquia de ràpit creiximent
• Funció de Veblen