Número de Skewes

En teoria de números, el número de Skewes és qualsevol de varis números i^x extremadament grans utilisats pel matemàtic surafricà Stanley Skewes com cota superior per al número natural més chicotet x per al qual

$\pi (x)>\mathrm{li}(x),$

a on π és la funció contador d'número primo i li és la funció integral logarítmica. Estes cotes des de llavors han segut millorades per unes atres. Hi ha un creuament propenc a $e^{727.95133}$, encara que es desconeix si és el més menut.

Història

John Edensor Littlewood, professor de Skewes, havia demostrat en 1914 que existixen tals números (i per lo tant, un més chicotet entre ells) i va trobar que la diferència π ( x ) - li ( x ) canvia de signes un número infinit de voltes. Si tal número existix no estava del tot clar en eixe moment, ya que tots els résultats numériques disponibles semblaven sugerir que π ( x ) és sempre menor que li ( x ). La prova de Littlewood, no obstant, no mostra eixe número x : no és effective. De fet, es basa en una alternativa: o el hipòtesis de Riemann és fals, o l'hipòtesis de Riemann és verdadera i la prova és llavors més difícil. (Per lo tant, es va basar en el principi del tercer exclós).

Skewes va demostrar en 1933 que, assumint l'hipòtesis de Riemann com a verdadera, existix tal número x, menor que ${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{79}}}.$

Este llímit superior és a voltes cridat primer número de Skewes i és aproximadament igual a $10^{10^{10^{34}}}.$

En 1955, sense utilisar l'hipòtesis de Riemann, va conseguir demostrar que existix tal x menor que $10^{10^{10^{963}}}.$

Este número a voltes es denomina "segon número de Skewes".

Estos (enormes) llímits superiors s'han reduït considerablement des de llavors: sense l'hipòtesis de Riemann, Herman et Riele va donar en 1987 el llímit superior

$7\times 10^{370}$

i una millor estimació, 1.39822 × 10³¹⁶, va ser descoberta en 2000 per Carter Bays i Richard H. Hudson.