Camp central

Un camp central és un camp de forces conservativo tal que l'energia potencial d'una partícula solament depenga de la distància (escalar) a un punt fix cridat centre o font del camp.

El camp gravitatorio del sol, tal com és tractat matemàticament en la mecànica newtoniana és un eixemple de camp central (no obstant, en teoria de la relativitat dit camp gravitatorio té un tractament matemàtic més complex).

Caracterisació matemàtica

ya que els camps centrals per definició són conservativos poden obtindre's com el gradient d'un potencial $U(r)$ a on $r$ és la distància a la font del camp. Per tant en cada punt de l'espai el camp central ve dau per:

Una propietat molt important del moviment en un camp central és que el moment angular (respecte al centre del camp) es conserva, és dir, eixa magnitut és una constant del moviment:

A on els dos térmens a que dona lloc la derivada del producte s'acaben anulant ya que en els dos casos resulten vectores paralels i el producte vectorial de dos vectores paralels s'anula. Ademés posat que el moment angular i el vector de posició són permanentment perpendiculars i en ser el primer vector constant, se seguix el que moviment en un camp central està sempre confinat al pla perpendicular al moment angular i per tant la trayectòria de la partícula serà una curva plana.

Moviment en un camp central

El moviment d'una partícula en un camp central té a lo manco dos constants de moviment: l'energia mecànica total (per ser el camp conservativo) i el moment angular. Com el moviment té dos dimensions, ya que es dona sobre un pla, les equacions del moviment i de la trayectòria són totalment integrables pel método de quadratura.

Per a vore açò escrigam primer el lagrangiano, que expressat en coordenades polars sobre el pla del moviment resulta ser tan senzill com:

Per lo que les equacions de moviment, obtingudes substituyendo el lagrangiano anterior en les equacions de Euler-Lagrange són simplement:

De la primera d'elles s'obté que la cantitat entre paréntesis, que coincidix en el mòdul del moment angular L_z que permaneix constant, d'acort en lo que sabíem. Substituyendo eixe resultat en l'equació de l'energia total tenim:

I esta última equació pot integrar-se sense dificultat, obtenint-se la següent quadratura:

Eixa equació dona implícitament la relació de la distància entre el centre del camp i la partícula que es mou a lo llarc del temps. Per a trobar la trayectòria basta usar:

Vore també

• Problema dels dos cossos