Funció d'ona normalisable

Una funció d'ona normalisable és una solució de l'equació de Schrödinger tal que l'integral del seu mòdul al quadrat és finita. Quan açò succeïx l'estat quàntic caracterisat per dita funció d'ona és interpretable com una partícula localisada.

Per eixemple els sistemes de partícules lligats per interaccions el moviment de les quals està sempre dins d'una regió finita de l'espai es poden descriure per mig de funcions d'ona normalisables, aixina els electrons lligats d'un àtom o una molècula es descriuen per mig de funcions d'ona normalisada i també els nucleones dins del núcleu atòmic. No obstant, existixen estats físicament realistes com les partícules en colisió que no admeten una funció d'ona normalisable i que usualment quan anara de la zona a on es produïx la colisió o interacció vénen descrits com a funcions de tipo "ona plana" i en general no resulten funcions d'ona normalisables.

Normalisació de funcions d'ona

D'acort en l'interpretació provabilística de la funció d'ona, $|\Psi (𝐫,t){|}^{2}d𝐫$ representa la provabilitat de trobar la partícula, en l'instant t, en l'element de volum $d𝐫$ entorn al punt $𝐫$. Com a conseqüència, la provabilitat de trobar la partícula en tot l'espai serà l'unitat i, per tant

a on l'integració s'estén a tot l'espai. Esta condició significa que les funcions d'ona que representen una partícula localisada en una regió de l'espai finita tenen que ser de quadrat integrable. Convé expressar la condició de normalisació anterior en la notació de Dirac,

El fet de que l'equació de Schrödinger en la representació de posició siga una equació diferencial homogénea implica que si $|\tilde{\Psi }(t)⟩$ és una solució, llavors $|\Psi (t)⟩:=N|\tilde{\Psi }(t)⟩$ també ho és. Podem utilisar la constant de normalisació $N$ per a conseguir que es complixca la condició de normalisació (2). En efecte, en este cas tindrem que elegir $N$ per a que es complixca

de tal manera que $N|\tilde{\Psi }(t)⟩$ represente la densitat de provabilitat de trobar la partícula en $𝐫$.

Funcions d'ona no-normalisables

Existixen molts estats físics interessants als que no es pot associar una funció d'ona normalisable com els estats de colisió o les ones planes. Encara que dits estats no siguen normalisables sí permeten definir un càlcul de provabilitats relatives i admeten un bon número de les operacions del tractament quàntic ordinari.

El conjunt d'estats normalisables pot dotar-se de l'estructura d'espai de Hilbert, mentres que els estats no-normalisables no poden pertànyer a un espai de Hilbert. No obstant, per a tractar conjuntament els estats normalisables i els no-normalisables es va desenrollar el formalisme d'espais de Hilbert equipats, que són espais vectorials tals que:

A on:

$\mathscr{H}$, és l'espai de Hilbert format pels estats normalisats.

${\mathscr{H}}_{equip}$, és l'espai de Hilbert equipat que inclou tots els estats, i que pot obtindre's com l'espai dual d'un conjunt d'estats destacat cridat espai nuclear.

$\Phi$, és l'espai nuclear que és un subespacio del conjunt d'espais normalisables, adequadament triat per a que el seu dual englobe els estats físicament interessants.

Vore també

• Espai de Hilbert equipat