Teoria quàntica de camps axiomàtica

La teoria quàntica de camps axiomàtica comprén en realitat varis enfocaments formals desenrollats per a resoldre problemes plantejats en el sí de la teoria quàntica de camps convencional. La construcció de teories quàntiques de camps exactes que satisfacen algun dels conjunts equivalents de axioma és un camp actiu d'investigació de la física matemàtica a on ha destacat Arthur Jaffe i el seu enfocament de la teoria quàntica de camps constructiva.

Introducció

Si be la majoria de físics treballen dins de la teoria quàntica de camps convencional a l'hora de fer càlculs pràctics en els que comparar els experiments i plantejar noves prediccions, l'enfocament de la teoria convencional no és matemàticament rigorós en varis aspectes i presenta diversos problemes formals. La preocupació teòrica per fonamentar de manera matemàticament consistent la teoria quàntica de camps ha conduït en les últimes décades a varis intents de teoria quàntica de camps axiomàtica. Tots eixos intents inclouen la formulació de certs postulats o axioma, sobre els que construir la teoria. Estos intents cauen en dos classes diferents:

• El primer tipo d'enfocaments axiomàtics, iniciats durant els anys 1950, inclouen els axioma de Wightman, els de Osterwalder-Schrader i els de Haag-Kastler. Estos intents varen tractar de formalisar la noció de "camp en valors en un conjunt d'operadors" en el context del anàlisis funcional. Estos intents varen tindre un èxit llimitat, encara que va ser possible demostrar que per a qualsevol teoria quàntica de camps que satisfera estos axioma eren vàlits certes teoremes generals importants, com el teorema espin-estadística i el teorema CPT. No obstant, no va resultar possible provar que les teories quàntiques de camp realistes disponibles, incloent el Model estàndar satisferen realment estos axioma. De fet la majoria de teories que sabem satisfan eixos axioma són físicament trivials, i en general es restringixen a 2 dimensions o carixen d'una dinàmica mínimament interessant. De fet l'àrea d'investigació que tracta de crear teories que satisfacen estos axioma es denomina teoria quàntica de camps constructiva, un àrea en la que es varen conseguir certs alvanços en els anys 1970 gràcies als treballs de Segal, Glimm, Jaffe i uns atres.
• El segon tipo d'enfocaments axiomàtics, va sorgir durant els anys 1980, i eren teories axiomàtiques basades en conceptes geomètrics. Esta llínea d'investigació, cridada teoria quàntica de camps topològica, s'associa principalment en els treballs de Michael Atiyah i Graeme Segal, i va ser ampliada notablement per Edward Witten, Richard Borcherds i Maxim Kontsevich. No obstant, és un fet conegut que molts dels models físicament més rellevants de teories quàntiques de camps, tal com el Model estàndar, no són teories quàntiques de camps de tipo topològic. Un eixemple interessant de teoria quàntica que sí és de tipo topològic és la que dona conte del efecte Hall quàntic fraccionario. A la postre sembla que la teoria quàntica de camps topològica ha tingut major impacte en les matemàtiques, en particular, en la teoria de representacions, la topología algebraica i la geometria diferencial.

De fet trobar un conjunt apropiat de axioma per a la teoria quàntica de camps, que incloga els eixemples físics importants, és un problema no resolt de la física matemàtica. De fet un dels problemes del mileni consistix en provar l'existència d'una teoria de Yang-Mills de cert tipo, és un problema associat a l'anterior.

Conjunts de axioma

En els últims 70 anys s'han propost varis conjunts de axioma, que casi equivalents, o essencialment equivalents, encara que existixen chicotetes diferències en les seues conseqüències. A continuació presentem els axioma més o menys en les seues formulació actuals, encara que no es discutixen els detalls de les seues equivalència llògiques com a conjunts de axioma.

Axioma de Osterwalder-Schrader

Baixe certes assunció tècniques, s'ha demostrat que una teoria quàntica de camps euclidiana pot ser Wick-rotada en una QFT de Wightman (vore Axioma de Osterwalder-Schrader). Este enfocament es basa en el formalisme de les integrals de camí del tipo:

A on:

$S[\varphi ]$ és el funcional d'acció aplicat al camp quàntic.

$F[\cdot ]$ és un polinomi en el camp.

$𝒟\varphi$ és una mida sobre el conjunt de "trayectòries".

Axioma de Wightman

Artícul principal → Axioma de Wightman.

Esta és una de les moltes tentatives de posar la teoria quàntica de camps sobre una base matemàtica ferma. Este conjunt de axioma incorpora suposts sobre vàries qüestions:

1. W₀: Assunció de la mecànica quàntica relativista.
2. W₁: Assunció sobre el domini i la continuïtat del camp.
3. W₂: Llei de transformació del camp.
4. W₃: Conmutatividad local o causalitat microscòpica.

Axioma de Haag-Kastler

Artícul principal → física local quàntica.

L'idea fonamental d'este enfocament, cridat també AQFT (Algebraic Quàntum Field Theory), és construir una aplicació entre una colecció de conjunts causals de l'espai temps i una ret matemàtica de C*-àlgebras d'operadors acotats sobre un espai de Hilbert. Com a conjunts causals es prenen freqüentment l'Interior (topología) de cons dobles. Un con doble és l'intersecció del futur causal d'un punt x del espai-temps en el passat causal d'un atre punt i (òbviament per a obtindre un con doble no trivial és necessari que i estiga en el futur causal de x). l'estructura causal d'una teoria de camps en este enfocament es basa que la correspondència entre la colecció de conjunts oberts del espai-temps de Minkowski i la ret matemàtica de C*-algebras complixca certes condicions raonables o axioma:

1. Monotonia. Siga $𝒦$ la colecció de conjunts de code tipo doble con de l'espai-temps. Llavors existix una aplicació monotónica $U:𝒦\to C^{*}$ tal que: $O_1\subset O_2\Rightarrow \mathrm{\exists }{\alpha }_{12}:U(O_1)\to U(O_2)$ tal que ${\alpha }_{12}$ és un homeomorfimos de C*-algebras.
2. Microcausalidad. Si dos doble cons $O_1\ne O_2$ estan separats espacialmente, és dir, entre cada para de punts de cada u d'ells existix una distància de tipo espai, llavors $[U(O_1),U(O_2)]=\{0\}$, és dir, tots els operadors de les respectives C*-àlgebra locals commuten.
3. Covariancia front a translacions. Si $U$ és una ret de àlgebra d'operadors definides sobre un espai afí, assumix que existix una representació fidel i contínua $x\mapsto {\alpha }_x$ del grup de translacions en $AutU$ (grup d'automorfismes de $U$) i ${\alpha }_x(U(O))=U(O+x)$ per a qualsevol doble con $O$ i qualsevol translació x.
4. Condició espectral. Siga $G$ el grup de translacions i siga $\omega$ un estat $G$-invariante de $U$. Diem que el parell $(U,\omega )$ satisfà la condició espectral just quan existix un subconjunt $G_{+}$ de $G$ tal que $G_{+}\cap (-G_{+})=0$ i en la representació GNS $(H,\pi )$ de $U$ per $\omega$, l'espectre $\mathrm{s}\mathrm{p}(U)$ de la representació unitària induïda està continguda en $G_{+}$.
5. Aditividad sobre el con de llum. L'hipòtesis de la aditividad es justifica a voltes pel fet de que no deu haver una escala de llongitut mínima en la teoria, és dir, qualsevol observable es genera prenent productes, sumes, etc. d'observables de regions arbitrariamente menudes.# Propietat de l'embut. Existix una ret d'àlgebra de von Neumann que assigna a cada con de llum una subálgebra, $O\to ℛ(O)$ que satisfà la següent propietat: si dos dobles cons $O_1$ i $O_2$, tals que ${\overline{O}}_1\subset O_2$ llavors el parell $(ℛ(O_1),ℛ(O_2))$ si existix un factor de tipo I, tal que $ℛ(O_1)\subset 𝒩\subset ℛ(O_2)$.

1. No-trivialidad. La ret $O\to ℛ(O)$ de C∗-àlgebra satisfà que per a cada doble con $O$, $U(O)\ne ℂI$.
2. Continuïtat interna i externa.

Referències

Bibliografia

• Bogoliubov, Nikolay, Shirkov, Dmitry (1982). Quàntum Fields, Benjamin-Cummings Pub. Co. ISBN 0805309837.

Enllaços externs

• Fields per Warren Siegel (Debades pero enorme: 800 pp.)
• Algebraic Quàntum Field Theory (Hans Halvroson, 2006)