Estructura causal

La estructura causal en una varietat lorentziana que determina les relacions causals entre els seus punts.

Introducció

En la física actual (en particular, en relativitat general) l'espai-temps està representat per una varietat lorentziana. L'estructura causal d'esta varietat és una construcció formal que intenta reflectir l'influència que puguen eixercir o sofrir els events en l'espai-temps que esta varietat representa.

l'espai-temps de Minkowski és un eixemple senzill de varietat lorentziana. Les relacions causals entre punts en este espai-temps són particularment simples degut a que és pla.

L'estructura causal d'una varietat lorentziana arbitrària (possiblement curvada) és més complicada per la curvatura. Les relacions causals en estes varietats han de ser establides en térmens de curves diferenciables entre punts, en condicions sobre les velocitats de dites curves.

Vectores tangentes

l'espai tangente en cada punt d'una varietat lorentziana té, per definició, la mateixa estructura que l'espai de Minkowski: la seua mètrica $g$ en cada punt és lorentziana. Per tant, els vectores $u$ es classifiquen en funció del signe de la seua norma:

• Temporals o de tipo temps, si $g(u,u)<0$.
• Nuls, lumínicos o de tipo llum, si $g(u,u)=0$.
• Espacials o de tipo espai, si $g(u,u)>0$.

  Archiu:NonTimeOrientable.svg

  Espai no orientable en el temps. Partint d'un espai-temps cilíndric, a on el temps es correspon en la direcció vertical, pot obtindre's un nou espai-temps prenent la versió proyectiva, indentificando parells de punts oposts. En este espai-temps la separació entre futur i passat en A (vert i roig) determina la separació en −A, i impedix assignar una separació similar de manera consistent en B i −B simultàneament.

(Prenem la convenció $(-+++)$.)

Orientabilidad en el temps

Esta estructura idèntica a Minkowski permet visualisar l'estructura causal en les rodalies d'un event. En particular, en cada punt pot distinguir-se entre passat i futur, separant el con de llum (i el seu interior) en dos classes d'equivalència: dos vectores temporals, $u$ i $v$, estan en la mateixa classe si $g(u,v)<0$. Esta relació s'estén als vectores de tipo llum per mig de continuïtat.

Esta noció de flecha temporal, que indica la direcció en la que el temps alvança, no s'estén necessàriament a tot l'espai-temps. Es diu que una varietat lorentziana és orientable en el temps si és possible especificar una classe d'equivalència en cada punt de la mateixa, de manera contínua. De forma equivalent, una varietat és orientable en el temps si i solament si posseïx un camp vectorial (global, açò és, definit en tota la varietat) continu de tipo temps, que no s'anule en cap punt.

Est és el requisit mínim que podem demanar-li a un espai-temps si volem parlar d'estructura causal entre events. Si és espai-temps no és orientable en el temps, no podem en general, donada la trayectòria d'un observador, afirmar si està retrocedint o alvançant en el temps.

(Suponem en les seccions subsecuentes que l'espai-temps considerat és orientable en el temps).

Curves

Donada una curva diferenciable podem classificar-la segons el caràcter del seu vector tangente com:

• Cronològica o temporal, si el seu vector tangente és temporal en tot punt de la mateixa.
• Nula o de tipo llum, si el seu vector tangente és de tipo llum en tot punt de la mateixa.
• Espacial, si el seu vector tangente és espacial en tot punt de la mateixa.
• Causal, si el seu vector tangente és temporal o de tipo llum en tot punt de la mateixa.

• Si l'espai-temps és orientable en el temps, per a les curves no espacials pot distinguir-se si són dirigides cap al futur (passat) si el seu vector tangente pertany a la classe d'equivalència distinguida com a futur (passat) en tot punt.

Futur i passat

Donat un punt qualsevol $x$ de la varietat $M$, pot definir-se:

• El futur cronològic de $x$, com el conjunt de punts de $M$ units a $x$ per una curva temporal dirigida cap al futur:

• El futur causal de $x$, com el conjunt de punts de $M$ units a $x$ per una curva causal dirigida cap al futur:

• El passat cronològic i passat causal, en definicions anàlogues a les anteriors, reemplaçant "dirigida al futur" per "dirigida al passat".

Com a eixemple senzill, donat un punt $x$ en l'espai-temps de Minkowski, el seu futur cronològic és l'interior del con de llum futur, $\{y|x\cdot y<0,x^0>y^0\}$, i el futur cronològic és el tancament del conjunt anterior, $\{y|x\cdot y\le 0,x^0\ge y^0\}$.

Referències

Bibliografia

• Hawking, Stephen W.; Ellis, {{{nom2}}} (1973). The large scale structure of spacetime (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
• Penrose, Roger (1972). Techniques of Differential Topology in Relativity (en anglés), SIAM. ISBN 0898710057.
• Wald, Robert (1984). General Relativity (en anglés), The University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.