Teoria clàssica de camps

La teoria clàssica de camps descriu la dinàmica dels fenomens físics macroscòpics representables per mig d'un camp físic. Si ben potencialment el concepte de camp engloba des dels camps de forces clàssics, també la mecànica de mijos continus, la propagació d'ones o la distribució de tensions en un sòlit deformable, normalment el terme teoria clàssica de camps es restringix a l'estudi dels camps de forces clàssics en el seu tractament relativiste, és dir:

• camp electromagnètic
• camp gravitatorio
• camps quàntics tractats clásicamente, que ajuden a formular l'evolució de camps quàntics lliures sense interacció entre ells.

Concepte de camp físic

Els sistemes físics formats per un conjunt de partícules interactuantes de la mecànica clàssica i els sistemes físics de partícules relativistes sense interacció són sistemes en un número finito de graus de llibertat les equacions de la qual de moviment vénen donades per equacions diferencials ordinàries com tots els eixemples anteriors.

No obstant, els camps físics, ademés d'evolució temporal o variació en el temps, presenten variació en l'espai. Eixa característica fa que els camps físics es consideren informalmente com a sistemes en un número infinit de graus de llibertat. Les peculiaritats dels camps fan que les seues equacions de "moviment" o evolució temporal vengen donades per equacions en derivades parcials i no per equacions diferencials ordinàries.

Campos de forces clàssics

Un camp de forces en la descripció newtoniana és una colecció de funcions ${\varphi }_r(𝐱,t)$ definides sobre una regió de l'espai. Si el camp consta d'una única component llavors el camp es diu camp escalar, si les components del camp medides per diferents observadors es comporten com una 1-forma o un vector llavors es diu que es té un camp vectorial. Ademés dels camps escalares i vectorials, en física clàssica existixen camps tensoriales (i més rarament camps espinoriales).

En teoria de la relativitat es requerix, ademés, una condició de covariancia. La condició de covariancia significa que, encara que les components d'un mateix camp físic, mides per diversos observadorés, no siguen idèntiques, deuen poder relacionar-se per mig d'equacions llineals, associades a una determinada representació del grup $SL(2,ℂ)$. En física sol dir-se que «un camp es transforma segons una representació» quan les components del camp medides per dos observadors poden relacionar-se per mig d'equacions llineals basades en dita representació.

Descripció matemàtica

Un camp clàssic ${\varphi }_r^{\alpha }(𝐱)$ relativísticamente covariant és una funció real o complexa que té un valor ben definit en cada punt $𝐱$ del espai-temps (esta bona definició puntual és ya una diferència en el camp quàntic). En la notació ${\varphi }_r^{\alpha }(𝐱)$:

• L'índex $\alpha$, cridat, en versió quàntica de la teoria de camps, índex d'espin, servix per al tipo de camp i, per això, el tipo de representació segons el qual es transforma: escalar (espin 0), fermiónico (usualment d'espin 1/2), vectorial (espin 1), tensorial [pròpiament dit] (generalment espin 2). Per a cada valor admissible de $\alpha$ es construïx una representació finito-dimensional $D^{\alpha }$ del grup $SL(2,ℂ)$ en un espai vectorial real o complex.
• L'índex r es referix a les components del camp.

Un camp clàssic relativísticamente covariant queda especificat per mig d'una densitat lagrangiana $ℒ(𝐱,{\varphi }_r^{\alpha },{\partial }_{\mu }{\varphi }_r^{\alpha })$. Esta densitat Lagrangiana depén tant de les coordenas de l'espai-temps com de l'amplitut del camp i de les derivades espai-temporals del camp. En este text s'usarà la notació:

${\partial }_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }\mu \in \{0,1,2,3\}$.

La condició de covariancia requerix que la densitat lagrangiana siga invariante baixe les substitucions:

${\varphi }_r^{\alpha }\mapsto \sum _s[D^{\alpha }(A){]}_{rs}{\varphi }_r^{\alpha }$

${\partial }_{\mu }{\varphi }_r^{\alpha }\mapsto \sum _s[D^{\alpha }(A){]}_{rs}[\Lambda (A){]}_{\mu }^{\nu }{\partial }_{\nu }{\varphi }_r^{\alpha }$

a on $A\in SL(2,ℂ)$, $[D^{\alpha }(A){]}_{rs}$ són les components de la matriu associada a la representació $D^{\alpha }$ de $SL(2,ℂ)$ i $[\Lambda (A)]$ és la transformació de Lorentz associada al mateix element anterior.

Principi de mínima acció per a camps

Artícul principal → principi de mínima acció.

Les equacions d'evolució temporal o equacions de moviment de tots els camps clàssics poden ser derivades del principi de mínima acció per a camps. D'acort en eixe principi, per a tota regió R de l'espai-temps es pot definir un funcional, cridat funcional d'acció tal que els camps reals i les seues derivades són un mínim de dit funcional. Dit funcional ve dau per:

Per tant, per a poder trobar les equacions d'evolució del camp basta trobar el mínim de l'anterior expressió. Pot demostrar-se que els camps que minimisen l'anterior funcional satisfan les equacions de Euler-Lagrange i, per tant, les equacions d'evolució del camp poden expressar-se en térmens del seu lagrangiano, com:

Referències

Bibliografia

• Landau & Lifshitz, Teoria clàssica dels camps, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.
• Segura González, Wenceslao, Teoria de camp relativiste, eWT Edicions, 2014, ISBN 978-84-617-1463-6.