Camp de Yang-Mills

Esquema perturbativo de QFT per a l'interacció d'un electró (i) en un quark (q), la llínea blava representa un camp electromagnètic (camp de Yang-Mills en simetria O(1)) i la llínea verda un camp de color (camp de Yang-Mills en simetria SU(3)).

Un camp de Yang-Mills és un tipo de camp físic usat sobretot en teoria quàntica de camps que el seu lagrangiano té la propietat de ser invariante baix una transformació de gauge local. Ademés, és el centre de l'unificació entre la força electromagnètica, la força dèbil i la força forta.

Història

En 1954, Chen Ning Yang i Robert Mills varen sugerir que el principi d'invariancia local de fase o invariancia de gauge local no eren compatibles en una teoria de camps local, és dir, que obedira els principis relativistes de causalitat. És dir quan, com és comú, el lagrangiano d'un camp té alguna simetria interna donada per un grup de transformacions de gauge, deuria ser possible triar en cada punt de l'espai una transformació de gauge diferent, sense que això fera que les equacions de la teoria anaren alterades. Aixina Yang i Mills varen buscar la teoria més general de lagrangiano per a un camp en invariancia de gauge local.

De fet l'electrodinàmica quàntica era ya una teoria en invariancia de gauge local, a on el grup de gauge era precisament el grup de Lie O(1). El resultat del treball de Yang i Mills va ser una generalisació del lagrangiano de l'electrodinàmica quàntica, a on ara el grup de gauge era un grup no conmutativo. Els gluones de la cromodinámica quàntica vénen descrits per un camp de Yang-Mills sobre el grup de Lie no conmutativo SU(3) associat a la simetria de color.

Formulació matemàtica

Per a construir un camp de Yang-Mills el grup del qual de gauge ${𝒢}_s$ de dimensió m, necessitem un camp multicomponente$𝜳(𝐱)$ (les components del qual ${\Psi }_i(𝐱)$ solen ser espinores de Dirac). Totes les components del camp estan definides sobre un espai-temps $ℳ$:

(1) $𝜳(𝐱)=\left(\begin{array}{c}{\Psi }_1(𝐱)\\ {\Psi }_2(𝐱)\\ \dots \\ {\Psi }_n(𝐱)\end{array}\right)𝐱\in ℳ$

Baix una transformació de gauge local $T_g$ el camp es transformaria d'acort en:

A on:

$g(𝐱)\in {𝒢}_s$ és l'element del grup de gauge assignat al punt $𝐱\in ℳ$.

$U_{g(𝐱)}$ denota una matriu donada per una representació unitària del grup de gauge ${𝒢}_s$.

${\gamma }^j(𝐱)$, són m funciones definides sobre l'espai-temps ${\gamma }^j:ℳ\to {ℝ}^m$ que parametrizan la transformació local de gauge (diferents eleccions d'eixes funcions representen diferents transformacions de gauge).

${𝝉}_j$, és una base del àlgebra de Lie ${𝔤}_s$ associada al grup de gauge ${𝒢}_s$.

Potencials d'un camp de Yang-Mills

Els camps de Yang-Mills pròpiament dits, deriven de m camps vectorials o més pròpiament 1-formes en valors sobre l'àlgebra de Lie associada al grup de gauge. Estes 1-formes funcionen com el potencial vector del camp electromagnètic. Cada u d'estos potencials j ve dau per:

Donada la llei de transformació (2) és senzill vore que a partir d'estes 1-formes pot definir-se un operador diferencial o derivada covariant del camp definida com:

A on g és un paràmetro real cridat constant d'acoplament. És senzill comprovar que es complixen les lleis de transformació:

(4) $T_g(D_{\mu }𝜳)=U_{g(𝐱)}{D}_{\mu }𝜳T_g(A_{\mu }^j{𝝉}_j)=U_g(A_{\mu }^j{𝝉}_j)U_g^{-1}+\frac{i}{g}({\partial }_{\mu }{U}_g)U_g^{-1}$

Per a una transformació de gauge infinitesimal $U_g\approx 1-{ϵ}^j{𝝉}_{𝒋}$ l'última de les expressions de (4) es reduïx a:

A on els coeficients f_ijk són les constants d'estructura de l'àlgebra de Lie:

Campos de Yang-Mills

Lo que pròpiament es denomina camp de Yang-Mills ve dau per un conjunt de components d'intensitat de camp que matemàticament s'obtenen a partir dels potencials vectores de la secció anterior. És important notar que una 1-forma com les descrites anteriorment pot ser interpretat matemàticament com una conexió sobre un fibrado principal. Concretament a partir les components de la 1-forma $𝐀$ que pren valors en l'àlgebra de Lie associada al grup de gauge, poden calcular-se les components físiques que caracterisen el camp de Yang-Mills pròpiament dit que matemàticament és la 2-forma $𝐅$ donada per:

A on d és la derivada exterior i $\wedge$ és producte exterior (o producte cunya). Expressat en components la relació anterior pot expressar-se com:

Lagrangiano d'un camp de Yang-Mills

Els camps de Yang-Mills són un cas especial de teoria de camp de gauge en simetria donada generalment per un grup no abeliano, el lagrangiano para dit camp es pren generalment com:

A on deu tindre's present que en ser les magnituts $F^{\mu \nu a}$ combinacions llineals dels generadors del àlgebra de Lie associada al grup de gauge del camp, que s'obtenen a partir del potencial vector:

Este tensor es diu intensitat de camp i a voltes, també curvatura del camp, degut a que si s'interpreta $A_{\mu }^a$ com les components d'una conexió matemàtica llavors $F_{\mu \nu }^a$ és la curvatura de dita conexió, ya que el commutador de les derivades covariants de gauge:

A on naturalment la derivada covariant anterior es definix a partir del vector potencial considerat com derivada covariant, és dir, $D_{\mu }=𝐈{\partial }_{\mu }-ig{𝝉}^a{A}_{\mu }^a$, sent $𝐈$ l'identitat per al grup de generadors, $g$ és la constant d'acoplament. En quatre dimensions, la constant d'acoplament $g$ és un número pur. Ademés per al grup especial unitari SU(N) i els índexs $a,b,c\in \{1\dots N^2-1\}$

A partir del lagrangiano donat per (7) es deduïxen les següents equacions d'evolució per al camp:

O ben introduint l'abreujament $F_{\mu \nu }={𝝉}^a{F}_{\mu \nu }^a$ l'equació anterior pot reescriure's com:

De l'equació anterior, se seguix que el camp té la propietat d'interactuar en si mateixa quan el grup de gauge no és abeliano, per lo que les equacions de moviment en eixe cas són semilineales, a diferència de les de l'electromagnetisme clàssic el grup del qual de gauge és abeliano. En general per la no linealidad les equacions de moviment en general només se saben manipular per mig de teoria de destorbament para chicotetes desviacions respecte a la linealidad.

Una propietat adicional de l'intensitat de camp és que de la mateixa manera que succeïx en el camp electromagnètic, existix un anàlec de l'identitat de Bianchi:

Quan es considera una regió de l'espai-temps a on existixen fonts del camp l'equació de camp ve donada per:

Note's que estes corrents deuen transformar-se pròpiament baix transformacions gauge del grup associat al grup de simetria del camp gauge. Dites corrents vénen donades en térmens dels espinores que definixen el camp com:

Quan es vol considerar l'efecte d'interacció en la matèria, el lagrangiano deu ampliar-se per a descriure tant el camp fermiónico de partícules font del camp com l'interacció entre el camp i la seua font:

Sent:

${ℒ}_{\mathrm{m}\mathrm{-}\mathrm{c}}$, la part del lagrangiano que representa la matèria (fermiones) i la seua interacció en el camp de gauge.

${ℒ}_{\mathrm{m}},{ℒ}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ són les parts en que el lagrangiano anterior pot descompondre's, la corresponent a la matèria aïllada i la corresponent a l'interacció.

${ℒ}_{\mathrm{m}\mathrm{-}\mathrm{c}}=\frac{1}{2}(D_{\mu }𝜳{)}^T{D}^{\mu }𝜳-\frac{1}{2}{m}^2{𝜳}^T𝜳$

$𝜳$ és el camp fermiónico dau per (1).

$m$ és la massa del camp fermiónico.

Propietats d'un camp gauge

• Encara en absència de camps fermiónicos el lagrangiano conté térmens que representen l'interacció del camp conseguixc mateixa, lo que implica que els camps bosónicos poden propagar-se en el buit. La autointeracción ademés dona lloc a fenomens de no linealidad que compliquen la descripció de l'evolució temporal del camp.

Vore també

• teoria de camp de gauge
• teoria electrodébil
• electrodinàmica quàntica