1-forma

En àlgebra llineal, una 1-forma o un-forma o covector (també cridat funció llineal), és una aplicació o transformació llineal d'un espai vectorial sobre el seu cos d'escalares, és dir, esta transformació aplica vectores en escalares. Intuitivamente és un objecte matemàtic definit sobre un cert domini $\Omega \subset {ℝ}^n$ (o d'una varietat diferenciable) que "operat" en un camp vectorial dona lloc un camp escalar o funció definida sobre el mateix domini. És dir:

A on ${\text{Vec}}_n(\Omega )$ denota el conjunt de funcions vectorials en derivades parcials contínues fins a orde n definides sobre $\Omega$, és dir, és un conjunt format per camps vectorials. Una 1-forma o forma un és un cas particular de n-forma.

Eixemples d'1-formes en física

En general, si V és un espai vectorial sobre un cos k, llavors un funcional llineal ƒ és una funció de V a k que és llineal:

$f(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=f(\overrightarrow{v})+f(\overrightarrow{w})$ para tot $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in V$

$f(a\overrightarrow{v})=af(\overrightarrow{v})$ para tot $\overrightarrow{v}\in V,a\in k$

Al conjunt de totes les transformacions llineals d'un espai vectorial sobre el seu cos, Hom_k(V,k), se li crida espai dual i se li denota generalment per V* o V′.

En mecànica newtoniana diverses magnituts funcionen com 1-formes. Per eixemple, el "treball infinitesimal" pot ser formalisat adequadament com una 1-forma definida a lo llarc de la trayectòria d'una partícula:

És una 1-forma, que aplicada a un vector velocitat dona la potència realisada per la força:

L'integral a lo llarc del temps de la potència, que és un escalar, dona el treball finito realisat per la força. Quan la 1-forma treball infinitesimal per la naturalea de les forces és una diferencial exacta, es diu que el conjunt de forces forma un camp conservativo.

En termodinàmica el cridat impròpiament "calor infinitesimal" és una atra 1-forma, normalment no exacta, que és expressable en diferents tipos de coordenades:

A on $C_v,C_p$ són les capacitats calorífiques baix volum i baix pressió constants respectivament i $dS,dT$ són 1-formes exactes associades a les variables d'estat, entropía i temperatura respectivament. Un factor integrant és una funció multiplicativa que convertix a una 1-forma no exacta en exacta. Aixina un factor integrant per a la magnitut "calor infinitesimal" és l'invers de la temperatura, en eixe cas la 1-forma resultant pot derivar-se de la variable d'estat cridada entropía. En electrodinàmica clàssica el potencial vector pot ser considerat una 1-forma sobre un espai-temps de quatre dimensions del que es pot derivar totes les components del camp electromagnètic. Esta 1-forma mai és exacta a menos que el camp electromagnètic siga nul.

• Un camp vectorial que derive d'un potencial admet una representació com 1-forma exacta.

Eixemples d'1-formes en matemàtiques

• La diferencial total d'una funció de vàries variables pot ser tractada rigorosament com una 1-forma. Aixina si es té una funció de vàries variables f(x,i,z) diferenciable, el seu diferencial total és una 1-forma exacta:

Per ser l'anterior una 1-forma exacta, és també una 1-forma tancada, la qual cosa implica que:

Vore també

• n-forma
• Funcional llineal positiva