Diferencial total

En anàlisis matemàtic, la diferencial total d'una funció real de diverses variables reals correspon a una combinació llineal de diferencials els components de la qual (coeficients) són els de el gradient de la funció.

Formalment el diferencial total d'una funció és una 1-forma o forma pfaffiana i pot ser tractada rigorosament com un element d'un espai vectorial de dimensió n, a on n és el número de variables depenents de la funció. Per eixemple, si $z=z(x,y)$ una funció diferenciable llavors el diferencial total de z és:

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\in {\Lambda }^1({ℝ}^2)$

Representació

En càlcul vectorial, la diferencial total d'una funció $f:{ℝ}^n\to ℝ$ es pot representar de la següent manera:

$\mathrm{d}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$

a on f és una funció $f=f(x_1,x_2,\mathrm{..}\mathrm{..},x_n)$.

Derivada total

La derivada total ve de derivar una funció $f$ que té variables $(x,y,z)$ que depenen d'atres variables $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$. En eixe cas, es pot derivar la funció respecte a t, i s'obté que:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x^{\prime }+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y^{\prime }+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot z^{\prime }$

a on x' és la derivada respecte a t de x, $x^{\prime }=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ de la mateixa manera que i', z'.

Es torna necessària distinguir la notació de derivada total de la parcial quan es deriva una funció del tipo $f(t,x,x^{\prime })$ que és fonamental per al càlcul de variacions, a on ací la variable x depén del temps $x=x(t),x^{\prime }=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ Llavors derivar respecte al temps queda

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x^{\prime }+\frac{\partial f}{\partial x^{\prime }}\cdot x^{″}$

1 Eixemple

Una funció senzilla:

$y=x^2+3x+58$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x+3$

$\mathrm{d}y=(2x+3)\mathrm{d}x$

2 Eixemple

Un eixemple més complex i ilustrativo:

$z=f(x,y)=x^3+\sin (y)$

$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^2$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\cos (y)$

$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=3x^2\mathrm{d}x+\cos (y)\mathrm{d}y$

Vore també

• Equació diferencial
• Càlcul diferencial