Àlgebra de Lie

En matemàticas, particularment en topología diferencial, un àlgebra de Lie és l'estructura algebraica definida sobre un espai vectorial, associada usualment als grups de Lie i usades en l'estudi geomètric d'eixos els propis grups i d'atres varietats diferenciables. El terme "àlgebra de Lie" (referit a Sophus Lie) va ser creat per Hermann Weyl en la década de 1930, per a l'objecte matemàtic que es denominava "grup infinitesimal". Si un grup de Lie pot interpretar-se en física com un grup de transformacions sobre una varietat diferenciable, l'àlgebra de Lie físicament pot concebre's com un conjunt de transformacions infinitesimals.

Definició

Un àlgebra de Lie ___* $𝔞$ es un espacio vectorial sobre un cierto cuerpo $𝔽$ junto con una operación binaria [·, ·]: $𝔞 \times 𝔞 \to 𝔞$ , llamada corchete de Lie, que satisface les propiedades siguientes:

es bilineal, es decir, [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] y [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] per a todo a, b en $𝔽$ y todo x, y, z en $𝔞$ .
satisface l'identidad de Jacobi, es decir, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 per a todo x, y, z en $𝔞$ .
[x, x] = 0 per a todo x en $𝔞$ . Adviértase que la primera propiedad y la tercera juntas, implican el carácter anticonmutatiu de [x, y] = − [y, x] per a todo x, y en $𝔞$ ("anti-simetría") si el cuerpo $𝔽$ és de característica diferent de dos. Tinga's en conte també que la multiplicació representada pel corchete de Lie no és, en general, associativa, és dir, [[x, i], z] no necessàriament és igual a [x, [i, z]].

Eixemples

Cada espai vectorial es convertix en un àlgebra de Lie abeliana trivial si definim el corchete de Lie com idénticamente zero.
l'espai euclídeo ___* $ℝ^{3}$ se convierte en un álgebra de Lie, si se considera el corchete de Lie que usa el producto vectorial.
Si se da un álgebra asociativa A con la multiplicación * , se puede dar un álgebra de Lie definiendo [x, y] = x * y − y * x. esta expresión se llama el conmutador de x e y.
Inversamente, puede ser demostrado que cada álgebra de Lie se puede sumergir en atra que surja d'un álgebra asociativa d'esa manera.
atre ejemplo importante viene de la topología diferencial: els campos vectorials en una variedad diferenciable forman un álgebra de Lie de dimensión infinita. Estos campos vectorials actúan como operadores diferencials sobre les funciones diferenciables sobre la variedad. Dados dos campos vectorials X e Y, el corchete de Lie $[X, Y]$ se define como:

y puede comprobarse que este operador corresponde a un campo vectorial. les generalizaciones adecuadas de la teoría de variedades al caso de dimensión infinita muestra que esta álgebra de Lie es la asociada (ver siguiente punto) al grupo de Lie dels difeomorfismes de la variedad.

En el caso d'una variedad que sea un grupo de Lie $G$ a su vez, un subespacio dels campos vectorials queda inalterado per les transformaciones dadas por el propio grupo, en el sentido de que en cada punto $g$ del misme, el campo no es más que:

$X (g) = d l_{g} (X (e))$

Este subespacio es de dimensión finita (e igual a la del grupo), dado que se corresponde con l'espacio tangente en la identidad. Además hereda la estructura de álgebra de Lie definida en el punto anterior, y se le denomina el álgebra de Lie asociada al grupo $G$ .

Como ejemplo concreto, consideremos el grupo de Lie SL(n, R) de todas les matrices $n \times n$ con valores reals y determinante 1. El espacio tangente en la matriz identidad se puede identificar con el espacio de todas les matrices reals $n \times n$ en traça 0 i l'estructura d'àlgebra de Lie que ve del grup de Lie coincidix en el que sorgix del commutador de la multiplicació de matrius.

Morfismes, subálgebras i ideals

Un homomorfisme ___* $φ : 𝔞 \to 𝔟$ entre les álgebra de Lie $𝔞$ y $𝔟$ sobre el misme cuerpo de base $𝔽$ es una función $𝔽$ -lineal tal que $[φ (x), φ (y)] = φ ([x, y])$ per a todo x y y en $𝔞$ . La composición de tals homomorfismes es atra vez un homomorfisme, y les álgebras de Lie sobre el cuerpo $𝔽$ , junto con estos morfismes, forman una categoría. Si tal homomorfisme es biyectiu, se llama un isomorfisme, y les dos álgebras de Lie $𝔞$ y $𝔟$ se llaman isomorfas. per a todos els efectos prácticos, les álgebras de Lie isomorfas són idénticas. Una subalgebra del álgebra de Lie $𝔞$ es un subespacio vectorial $𝔟$ de $𝔞$ tal que $[x, y] \in 𝔟$ per a todo $x, y \in 𝔟$ . i. e. $[𝔟, 𝔟] \subset 𝔟$ . La subalgebra és llavors un àlgebra de Lie. Un ideal de l'àlgebra de Lie A és un subespacio vectorial I de A tals que [a, i ] ∈ I per a tota a ∈ A i ∈ I. i. i. [A, I] ⊆ I. Tots els ideals són subalgebras. Si I és un ideal de A, llavors l'espai cocient A/I es convertix en un àlgebra de Lie definint [x + I, i + I] = [x, i] + I per a tot x, i ∈ A. Els ideals són precisament els núcleus d'homomorfismes, i el teorema fonamental d'homomorfismes és vàlit per a les àlgebra de Lie.

Classificació de les àlgebra de Lie

Les àlgebra de Lie reals i complexes es poden classificar fins a un cert grau, i esta classificació és un pas important cap a la classificació dels grups de Lie.

Àlgebra abelianas, nilpotents i solubles

AP

Cada àlgebra de Lie real o complexa finito-dimensional es presenta com l'àlgebra de Lie d'un únic grup de Lie simplement conexo real o complex (teorema d'Ado), pero pot haver més d'un grup, encara més d'un grup conexo, donant lloc a la mateixa àlgebra. Per eixemple, els grups BAIX(3) (matrius ortogonals 3×3 de determinant 1) i LA SEUA(2) (matrius unitàries 2×2 de determinant 1), abdós donen lloc a la mateixa àlgebra de Lie, a saber R³ en el producte vectorial. Un àlgebra de Lie és abeliana si el corchete de Lie s'anula, és dir [x, i] = 0 per a tot x i i. Més generalment, un àlgebra de Lie A és nilpotent si la série central descendent

A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], A] ⊇ [[[A, A]], A], A] ⊇... acaba fent-se zero. Per la teorema d'Engel, un àlgebra de Lie és nilpotent si i solament si per a cada x en A, la funció ad(x): A -> A definida per

ad(x)(i) = [x, i]

és nilpotent. Més generalment encara, un àlgebra de Lie A és soluble si la série derivada

A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], [A, A]] ⊇ [[[A, A]], [A, A]],[[A, A]], [A, A]]] ⊇ ... acaba fent-se zero. Una subálgebra soluble maximal es diu una subálgebra de Borel.

Àlgebra simples i semisimples

AP Un àlgebra de Lie A es diu semisimple si l'únic ideal soluble de A és trivial. Equivalent, A és semisimple si i solament si la forma de Killing K(x, i) = tr(ad(x)ad(i)) és no-degenerada; ací tr denota l'operador de traça. Quan el cos F és de característica zero, A és semi-simple si i solament si cada representació és totalment reducible, açò és, que per a cada subespacio invariante de la representació hi ha un complement invariante (teorema de Weyl). Un àlgebra de Lie és simple si no té cap ideal no trivial. En particular, un àlgebra de Lie simple és semi-simple, i més generalment, les àlgebra de Lie semi-simples són suma directa de simples. Les àlgebra de Lie complexes semi-simples es classifiquen a través de les seues sistemes de raïl.

Vore també

Bibliografia

Grups i àlgebra de Lie de B. N. Shapukov, Editorial URSS Moscou (2001)

Enllaços externs

Miguel A. Rodríguez (2007) archive. org/web/20160304122236/http://jacobi. fis. ucm. es/marodriguez/notas_clase/Lie.pdf Àlgebra de Lie d'Universitat Complutense de Madrit.

Este artícul conté una traducció derivada de «Álgebra de Lie» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.