Nilpotent

En matemàtica, un element x d'un anell R es diu que és nilpotent si existix algun sancer positiu n tal que xⁿ = 0.

Eixemples

Esta definició pot ser aplicada en particular a matrius quadrades. La matriu

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

és nilpotent perque A³ = 0. Vore matriu nilpotent para major detall.

En l'anell factorial Z/9Z, la classe del 3 és nilpotent perque 3² és congruent en 0 mòdul 9.

• Suponem que dos elements a, b d'un anell no conmutativo R satisfan ab=0. Llavors, l'element c=ba és nilpotent (si és no nul) ya que c²=(ba)²=b(ab) a=0. Un eixemple en matrius seria:

$A_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$

Veem que $A_1{A}_2=0,A_2{A}_1=A_2$.

Propietats

Cap element nilpotent pot ser una unitat (llevat en l'anell trivial {0} en el que únicament existix un únic element 0 = 1). Tots els elements nilpotents són divisores de zero.

Una matriu quadrada n dimensional A en elements en un cos és nilpotent si i solament si el seu polinomi característic és Tⁿ, la qual cosa succeïx si i solament si Aⁿ = 0.

Els elements nilpotents d'un anell conmutativo formen un ideal; este fet és conseqüència del teorema del binomi. Este ideal és el nilradical de l'anell. Cada element nilpotent d'un anell conmutativo està contingut en tot ideal primer de l'anell, i de fet l'intersecció de tots els ideals cosins és el nilradical.

Si x és nilpotent, llavors 1 − x és una unitat, perque xⁿ = 0 implica

(1 − x) (1 + x + x² + ... + xⁿ⁻¹) = 1 − xⁿ = 1.