Matriu nilpotent

En àlgebra llineal, una matriu $N\in M_{n.n}(K)$ es diu que és nilpotent si existix $k\in \mathbb{N}$ tal que $N^k=0$. Es diu índice de nilpotencia o es diu que $N$ és d'índex (o d'orde) $k$ i es definix com $min\{k\in \mathbb{N}/N^k=0\}$.

Teorema

Si $A$ és una matriu nilpotent, llavors la seua determinant és zero. Que el determinant siga zero és una condició necessària per a ser una matriu nilpotent, encara que no és una condició suficient.

Demostració

Si A és una matriu nilpotent d'orde k, se seguix que $A^k=0$. Per lo tant, $\det (A^k)=0$. Després, $\det (A{)}^k=0$ per lo que $\det (A)=0$.

El recíproc no és cert; per eixemple, la matriu

té determinant igual a zero, pero no és nilpotent. Una matriu és nilpotent si i només si tots els seus valors propis són zero.

Eixemples

La matriu

$M=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

és nilpotent, ya que M² = 0. En térmens més generals, qualsevol matriu triangular en zeros a lo llarc de la diagonal principal és nilpotent. Per eixemple, la matriu

$N=\left[\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 6\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

és nilpotent, en

$N^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 2& 7\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Encara que els eixemples anteriors tenen un gran número de zeros en les entrades, no totes les matrius nilpotents ho tenen. Per eixemple, les matrius

$\left[\begin{array}{cc}6& -9\\ 4& -6\end{array}\right]\text{y}\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 15& -9& 6\\ 10& -6& 4\end{array}\right]$

abdós elevades al quadrat són zero, encara que cap matriu té zeros en les entrades.

Referències

• Matriu nilpotent i transformació nilpotent en PlanetMath. (en anglés)