Difeomorfisme

En topología diferencial, un difeomorfismo és un isomorfisme en la categoria de les varietats diferenciables (és dir, un difeomorfismo és un homeomorfisme diferenciable en inversa diferenciable). Com a tal un difeomorfismo és una aplicació que posseïx aplicació inversa, per supost estes dos aplicacions són diferenciables.

L'image d'una retícula ortogonal definida sobre un quadrat, obtinguda a partir d'un difeomorfismo del quadrat en sí mateixa, conservant invariante el contorn.

Definició

Donades dos varietats $ℳ$ i $𝒩$, una aplicació $f:ℳ\to 𝒩$ és un difeomorfismo si és un homeomorfisme diferenciable en inversa diferenciable. Si estes aplicacions són r voltes contínuament diferenciables, açò és són membres de $C^r$ llavors f és un C^r-difeomorfismo o difeomorfismo de classe C^r.

Dos varietats $ℳ$ i $𝒩$ són difeomorfas $(ℳ\approx 𝒩)$ si existix un difeomorfismo f entre elles.

Alternativa

Les transformacions regulars són cridades difeomorfismos de la classe $C^{(1)}$

Una aplicació $g$ de ${ℛ}^{𝓃}\to {ℛ}^{𝓃}$ és regular si:

1. $g$ és de la classe $C^{(1)}$
2. $g$ és univalente
3. $\mathrm{\forall }t,g(t)\ne 0$

Difeomorfismos de subconjunts de varietats

Donat un subconjunt $X$ d'una varietat $ℳ$ i un subconjunt $Y\subset 𝒩$, una funció $f:X\to Y$ és diferenciable (suau) si per a cada $p\in X$ existixen un entorn $U\subset ℳ$ i una funció diferenciable (suau) $g:U\to Y$ tal que $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$ (note's que g és una extensió de f). Es diu ademés que f és un difeomorfismo si és biyectiva, diferenciable i la seua inversa diferenciable.

Referències

Bibliografia

• Chaudhuri, Shyamoli, Hakuru Kawai and S.-H Henry Tye. "Path-integral formulation of closed strings," Phys. Rev. D, 36: 1148, 1987.
• {{{1}}} en Springer