Principi dels treballs virtuals

El principi dels treballs virtuals és un método utilisat en resistència de materials per al càlcul de desplaçaments reals en estructures isostáticas i hiperestáticas, i per al càlcul de les incògnites que no podem abordar en l'equilibri en les estructures hiperestáticas. El principi dels treballs virtuals pot derivar-se del principi de d'Alembert, que a la seua volta pot obtindre's de la mecànica newtoniana o més generalment del principi de mínima acció.

Formulació

Donat un sòlit deformable impedit fer moviments de sòlit rígit, és dir, en un número de graus de llibertat no positiu, el principi dels treballs virtuals establix que si inventem un camp de desplaçaments $𝐮(𝐱)$, cridat camp de desplaçaments virtualés, compatible en els enllaços existents que impedixen el moviment de sòlit rígit es complirà que el treball virtual extern i el treball virtual intern seran iguals,

A on les deformacions i tensions en l'equació anterior deuen calcular-se a partir del camp de desplaçaments virtual:

Aplicació a voltons rectes

La fòrmula anterior se simplifica substancialment si s'aplica al cas d'una voltó recta, ya que en ella els treballs intern i extern vénen daus per:

A on:

$T_y,T_z$, són els esforços tallants produïts pel camp de desplaçaments.

$M_T$, és el moment torsor produït pel camp de desplaçaments.

$M_y,M_z$, són els moments flectores produïts pel camp de desplaçaments.

I els desplaçaments, en el cas d'un voltó que flecta solament en el pla XY, poden ser calculats a partir dels desplaçaments horisontal $u(s)$ i vertical $v(s)$ a lo llarc del voltó:

${\epsilon }_x=\frac{du}{ds}{\gamma }_{xy}=\frac{dv}{ds}{\chi }_z=\frac{d^{2}v}{d{s}^2}$

L'igualtat (1) pot aplicar-se per al càlcul de reaccions hiperestáticas, per a això basta elegir un desplaçament virtual adequat.

Aplicació al càlcul plàstic

El càlcul plàstic d'estructures de barres assumix que per a un cert interval del moment flector l'estructura respon de manera elàstica llineal, i a partir d'un cert valor els increments successius de la càrrega generen ròtules plàstiques que disminuïxen el grau de hiperestaticidad d'una estructura. Quan per efecte de l'acumulació successiva de ròtules plàstiques per la càrrega, l'estructura es torna isostática, la següent ròtula que aparega convertirà l'estructura en un mecanisme subdeterminado i per tant l'estructura colapsarà abruptament movent-se segons un mecanisme identificable segons l'orde de formació de les ròtules. En este cas el treball intern vindrà dau pel número de ròtules i el moment plàstic $M_{P,i}$ màxim resistit per cada ròtula i l'àngul de gir entorn a cada una:

Este treball deu igualar el treball exterior fet per les forces que actuen sobre l'estructura provocant l'aparició de ròtules i eventualment produint el colapse de l'estructura:

Igualant les potències (derivada temporal dels treballs) de les dos equacions anteriors, s'obté una equació en la que és possible rebujar la càrrega màxima (sempre i quan s'haja especificat un procés de posada en càrrega de l'element en qüestió). Tant el mecanisme de fallo com la càrrega última resistida van a dependre del procés de càrrega, per lo que l'orde de les càrregues i com s'aumenten fins al seu valor nominal és una qüestió important en el càlcul plàstic, a on l'estat final depén de la variació de les càrregues en el temps. Açò contrasta en el cas elàstic a on l'estat final solament depén del valor final de les càrregues, no del procés de càrrega.

Vore també

• Principi de d'Alembert
• Desplaçament virtual

Bibliografia

• Tauchert, T.R. Energy Principles in Structural Mechanics, McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0
• Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8
• Wunderlich, W. Mechanics of Structures: Variational and Computational Methods, CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7