Principi d'acció

Plantilla:Fusionar cap a En física, el principi d'acció és una asserció sobre la naturalea del moviment o trayectòria d'un objecte o més generalment l'evolució temporal d'un sistema físic, somés a accions predeterminades.

D'acort en este principi existix una funció escalar definida per una integral invariante cridada integral d'acció, tal que, sobre la "trayectòria" temporal del sistema, esta funció pren valors extrems. Per eixemple en mecànica clàssica la trayectòria real que seguirà una partícula és precisament aquella que rendix un valor estacionario de l'acció. l'acció és una magnitut física escalar, representable per un número, en dimensions de energia · temps. El principi és una teoria simple, general, i de gran alcanç per a predir el moviment en totes les àrees de la física. Extensions del principi d'acció descriuen la mecànica relativista, la mecànica quàntica, l'electromagnetisme.

El principi també es diu principi d'acció estacionaria i principi de menor acció o principi de mínima acció (encara que esta forma és menys general i de fet per a certs sistemes és incorrecte parlar de mínima acció). Restringit a la mecànica clàssica el principi admet una formulació particular coneguda com principi d'Hamilton.

Història

El principi de menor acció primer va ser formulat per Maupertuis en 1746 i despuix desenrollat (de 1748 en avant) pels matemàtics Euler, Lagrange, i Hamilton. Maupertuis va aplegar a este principi per la sensació de que la mateixa perfecció de l'univers exigix certa economia en la naturalea i està oposta a qualsevol despesa innecessària d'energia. Els moviments naturals deuen usar alguna cantitat al mínim. Era solament necessari trobar eixa cantitat, i açò va procedir a fer. Era el producte de la duració (temps) del moviment dins d'un sistema per la "vis viva" (violència o força viva) o dos voltes lo que ara cridem l'energia cinètica del sistema. Euler (en "Reflexions sur quelques lois générales de la nature.", 1748) adopta el principi de la menor acció, cridant a la cantitat "effort". La seua expressió correspon a lo que ara cridaríem energia potencial, de modo que la seua declaració de menor acció en estàtica és equivalent al principi de que un sistema de cossos en repòs adoptarà una configuració que reduïxca al mínim la seua energia potencial total.

Importància en física moderna

El principi d'acció va sorgir en el context de la mecànica clàssica, com una generalisació de les lleis de Newton. De fet en sistemes inerciales el principi de mínima acció i les lleis de Newton són equivalents. No obstant, la major facilitat per a generalisar el principi d'acció ho fa preferible en cert tipo d'aplicacions complexes, la qual cosa fa que el principi ocupe un paper central en la física moderna. De fet, este principi és una de les grans generalisacions en ciència física. En particular, li l'aprecia completament i li l'entén millor dins de la mecànica quàntica o la teoria de camps. La formulació de Feynman de la mecànica quàntica es basa en un principi d'acció estacionaria, usant integrals de trayectòries. Les equacions de Maxwell pot ser derivades com a condicions d'una acció estacionaria.

Archiu:Gravitation space source.png

Esquema de la curvatura del espai-temps al voltant d'una font de força de gravetat.

Molts problemes en física es poden representar i solucionar en la forma d'un principi d'acció, tal com trobar la manera més ràpida de descendir a la plaja per a alcançar a una persona que s'ofega. L'aigua caent pels declius busca la pendent més escarpada, la manera més ràpida d'aplegar avall, i aigua que corre en una conca es distribuïx de modo que la seua superfície siga tan baixa com siga possible. La llum troba la trayectòria més ràpida a través d'un sistema òptic (el principi de Fermat de menor temps). La trayectòria d'un cos en un camp gravitacional (és dir, caiguda lliure en l'espai-temps, una, aixina cridada, geodèsica) es pot trobar usant el principi d'acció.

Les simetria en una situació física es poden tractar millor en el principi d'acció, junt en les equacions de Euler-Lagrange que es deriven del principi d'acció. Per eixemple, el teorema d'Emmy Noether assigna que tota simetria contínua en una situació física correspon a una llei de conservació. Esta conexió profunda, no obstant, requerix assumir el principi d'acció.

En mecànica clàssica (no-relativista, no quàntica), l'elecció correcta de l'acció pot ser derivada de les lleis de Newton del moviment. Inversament, el principi d'acció prova l'equació de Newton del moviment donada l'elecció correcta de l'acció. Per tant en mecànica clàssica el principi d'acció és equivalent a l'equació de Newton del moviment. L'us del principi d'acció és a sovint més simple que l'us directe de l'equació de Newton del moviment. El principi d'acció és una teoria escalar, en derivació i aplicacions que ampren càlcul elemental..

El principi d'acció en la mecànica clàssica

Les lleis de Newton del moviment es pot establir de vàries maneres alternatives. Una d'elles és el formalisme lagrangiano, també cridada mecànica lagrangiana. Que ho enunciarem en coordenades generalisades, per a aixina poder usar cartesinas, polars o esfèriques, segons requerixca el sistema a tractar. Si denotem la trayectòria d'una partícula en funció del temps t com a q(t), en una velocitat $\dot{q} (t)$ , llavors el lagrangiano és una funció depenent d'estes cantitats i possiblement també explícitament del temps:

la integral d'acció S és l'integral temporal del lagrangiano entre un punt de partida donat $q (t_{1})$ en el temps $t_{1}$ i un punt final dau $q (t_{2})$ en el temps $t_{2}$

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q (t), \dot{q} (t), t) d t

En mecànica lagrangiana, la trayectòria d'un objecte és derivada trobant la trayectòria per a la qual l'integral d'acció S és estacionaria (un mínim o un punt de ensilladura). L'integral d'acció és una funcional (una funció depenent d'una funció, en este cas $q (t)$ ).

Per a un sistema en forces conservativas (forces que es poden descriure en térmens d'un potencial, com la força gravitacional i no com les forces de fricció), l'elecció d'un lagrangiano com l'energia cinètica menys l'energia potencial dona lloc a les lleis correctes de la mecànica de Newton (notar que la suma de l'energia cinètica i la potencial és l'energia total del sistema).

Les equacions de Euler-Lagrange per a l'integral d'acció

Case unidimensional

El punt estacionario d'una integral a lo llarc d'una trayectòria és equivalent a un sistema d'equacions diferencials, cridat les equacions de Euler-Lagrange. Açò pot ser vist com seguix a on nos restringim un coordenada solament. L'extensió a més coordenades és senzill.

Suponga que tenim una integral d'acció S d'un integrant L que depén de les coordenades $x (t)$ i $\dot{x} (t)$ , les seues derivades sobre t:

considera una segona curva $x_{1} (t)$ que comence i termine en els mateixos punts que la primera curva, i assumix que la distància entre les dos curves és chicoteta en tots els llocs: $ϵ (t) = x_{1} (t) - x (t)$ és menut. En el començ i en el punt final tenim $ϵ (t_{1}) = ϵ (t_{2}) = 0$ .

La diferència entre els integrals a lo llarc de la curva un i a lo llarc de la curva dos és:

a on hem utilisat la primera extensió de l'orde de L en ε i $\dot{ϵ}$ .

Ara utilise l'integració parcial en el terme passat i utilise les condicions $ϵ (t_{1}) = ϵ (t_{2}) = 0$ per a trobar:

S alcança un punt estacionario (un extrem), és dir. δS = 0 per a cada ε. Observe que este és l'únic requisit: l'extrem podia ser un mínim, punt de ensilladura o igual formalment a un màxim. δS = 0 per a cada ε si i solament si

a on hem substituido $x^{a} a = 0, 1, 2, 3$ per $x$ , ya que açò deu valdre per a cada coordenada. Este sistema d'equacions es diu les equacions de Euler-Lagrange per al problema variacional. Una conseqüència simple important d'estes equacions és que si L no conté explícitament la coordenada x, és dir,

si

\partial L / \partial x = 0

llavors

\partial L / \partial \dot{x}

és constant

Tal coordenada x es diu una coordenada cíclica de S, i $\partial L / \partial \dot{x}$

es diu el moment conjugat, que es conserva. Per eixemple si L no depén del temps, la constant associada del moviment (el moment conjugat) es diu l'energia. Si utilisem coordenades esfèriques t, r, φ, θ i L no depenen de φ, el moment conjugat són el moment angular (conservat).

Eixemple: La partícula lliure en coordenades polars

Eixemples trivials ajuden a apreciar l'us del principi d'acció via les equacions Euler-Lagrange. Una partícula lliure (massa m i velocitat v) en un espai euclidiano es mou en una llínea recta. Usant les equacions de Euler-Lagrange, açò pot ser demostrat en coordenades polars com seguix. En absència d'un potencial, el lagrangiano és simplement igual a l'energia cinètica $m v^{2} / 2 = {\dot{x}}^{2} / 2 + {\dot{y}}^{2} / 2$ en $(x, y)$ coordenades ortonormals, a on el punt representa la diferenciació sobre el paràmetro de la curva (generalment el temps t). En coordenades polars (r, φ) l'energia cinètica i per lo tant el lagrangiano es convertix en

L = \frac{1}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2})

els components radials de $ϕ$ de les equacions Euler-Lagrange es convertixen, respectivament en

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0 \Rightarrow \ddot{r} - r {\dot{ϕ}}^{2} = 0

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}}) - \frac{\partial L}{\partial ϕ} = 0 \Rightarrow \ddot{ϕ} + \frac{2}{r} \dot{r} \dot{ϕ} = 0

que la solució d'estes dos equacions es dona

per a un sistema de les constants $a, b, c, d$ determinat per condicions inicials. Aixina, de fet, la solució és una llínea recta donada en coordenades polars.

Case n-dimensional

En el cas n-dimensional l'acció associada a un camp físic $ϕ_{r}^{α}$ el lagrangiano és una densitat sobre l'espai n-dimensional, i per tant l'acció és una integral sobre un domini n-dimensional:

Donades certes condicions de contorn sobre el vora d'una regió $V \subset M$ , llavors les equacions del moviment vénen donades per les equacions de Euler-Lagrange:

Incidentalment, el costat esquerre és la derivada funcional de l'acció sobre $ϕ_{r}^{α}$ .

Observació sobre el formalisme

Els formalisme dalt són vàlits en la mecànica clàssica en un sentit molt restrictiu del terme. Més generalment, una acció és una funcional del espai de configuració als número real i en general, no necessita ser necessàriament siquiera una integral perque les accions no localés són possibles. L'espai de configuració no necessita ser necessàriament un espai funcional perque podríem tindre coses com geometria no conmutativa.

Vore també

Referències

Bibliografia

Per a una bibliografia anotada, considera Edwin F. Taylor

Enllaços externs

Edwin F. Taylor

Este artícul conté una traducció derivada de «Principio de acción» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.