Principi de Fermat

Archiu:Leastaction. caps block 0

De tots els camins possibles de la llum, solament són camins reals el camí òptic dels quals siga màxim o mínim.

El principi de Fermat, en òptica, és un principi de tipo extremal i que establix:

El trayecte seguit per la llum en propagar-se d'un punt a un atre és tal que el temps amprat en recórrer-ho és un mínim.

Este enunciat no és complet i no cobrix tots els casos, per lo que existix una forma moderna del principi de Fermat. Esta diu que:

El trayecte seguit per la llum en propagar-se d'un punt a un atre és tal que el temps amprat en recórrer-ho és estacionario respecte a possibles variacions de la trayectòria.

Açò vol dir que, si s'expressa el trayecte recorregut per la llum entre dos punts

$O_1$

i

$O_2$

per mig d'una funcional cridada camí òptic definida com

${ℒ}_{O_1{O}_2}[n(\overrightarrow{r})]$

la trayectòria real de la llum seguirà un camí extremal respecte d'esta funcional:

$\delta {ℒ}_{O_1{O}_2}[n(\overrightarrow{r})]=\delta \underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}n(\overrightarrow{r})ds=0.$

La característica important, com diu l'enunciat, és que els trayectes pròxims al verdader requerixen temps aproximadament iguals. En esta forma, el principi de Fermat recorda al principi d'Hamilton o a les equacions de Euler-Lagrange.

El principi en la seua forma moderna va ser declarat per Pierre de Fermat en una carta de 1662, d'ahí que duga el seu nom.

Seguixen ara alguns eixemples de l'aplicació del principi per a deduir les lleis de l'òptica geomètrica.

Equació de la trayectòria d'un raig lluminós

L'equació de la trayectòria d'un raig lluminós real en un sistema òptic és:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n(\mathbf{\text{𝐫}})-\frac{d}{ds}[n(\mathbf{\text{𝐫}})\frac{\mathbf{\text{𝐝𝐫}}}{ds}]=0$

i es deduïx a partir del principi de Fermat.

Deducció de l'equació

Tenim un raig de llum que es desplaça per un mig en índex de refracció continu des d'un punt $A$ a un punt $B$.

Siga $\mathbf{\text{𝐫}}$ el vector posició i $\mathbf{\text{𝐮}}$ el vector unitari tangente a la trayectòria.

Tenim que $L=\underset{A}{\overset{B}{\int }}n(\mathbf{\text{𝐫}})ds=\int dL$. D'açò es deduïx que $nds=dL$. Ademés es té que $ds=\mathbf{\text{𝐮}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐫}}$ i que $dL=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐫}}$.

Per lo tant $n\mathbf{\text{𝐮}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐫}}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐫}}$. En ser $\mathbf{\text{𝐝𝐫}}$ d'un vector arbitrari tenim que $n\mathbf{\text{𝐮}}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L$ i per tant que $\mid \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L\mid =n$.

D'açò s'obté que $\frac{d(n\mathbf{\text{𝐮}})}{ds}=\frac{d}{ds}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L$. Notem que$\frac{d(n\mathbf{\text{𝐮}})}{ds}=\frac{d}{ds}[n(\mathbf{\text{𝐫}})\frac{\mathbf{\text{𝐝𝐫}}}{ds}]$.

Per un atre costat tenim que (s'amprarà cartesianas pero servix per al restant de bases ortonormals):

$\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)\cdot \frac{\mathbf{\text{𝐝𝐫}}}{ds}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)\cdot \mathbf{\text{𝐮}}$; perque $d\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐫}}$.

$\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)\cdot \frac{1}{n}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L$; perque $n\mathbf{\text{𝐮}}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L$.

$\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)=\frac{1}{n}(\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial L}{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial L}{\partial x},\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial L}{\partial x})\cdot (\frac{\partial L}{\partial x},\frac{\partial L}{\partial y},\frac{\partial L}{\partial z})=\frac{1}{n}[\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial L}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial L}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial y}+\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial L}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial z}]$.

$\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)=\frac{1}{n}[\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial L}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial L}{\partial y}\frac{\partial L}{\partial y}+\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial L}{\partial z}\frac{\partial L}{\partial z}]=\frac{1}{2n}\frac{\partial }{\partial x}[{\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial z}\right)}^2]$; perque $\frac{\partial }{\partial \beta }{\left(\frac{\partial L}{\partial \alpha }\right)}^2=2\frac{\partial }{\partial \beta }\frac{\partial L}{\partial \alpha }\frac{\partial L}{\partial \alpha }$.

$\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)=\frac{1}{2n}\frac{\partial }{\partial x}{n}^2=\frac{1}{2n}2n\frac{\partial n}{\partial x}=\frac{\partial n}{\partial x}$; perque$[{\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial z}\right)}^2]=\mid \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L{\mid }^2=n^2$.

Realisant les mateixes components per a $y$ i $z$ s'obté que:

$\frac{d}{ds}\left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L\right)=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)\mathbf{\text{𝐢}}+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\mathbf{\text{𝐣}}+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial z}\right)\mathbf{\text{𝐤}}=\frac{\partial n}{\partial x}\mathbf{\text{𝐢}}+\frac{\partial n}{\partial y}\mathbf{\text{𝐣}}+\frac{\partial n}{\partial z}\mathbf{\text{𝐤}}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n$.

Reemplaçant s'obté que:

$\frac{d(n\mathbf{\text{𝐮}})}{ds}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n$ o $\frac{d}{ds}[n(\mathbf{\text{𝐫}})\frac{\mathbf{\text{𝐝𝐫}}}{ds}]=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n$.